Основы мат. анализа Примеры

$y = 0.03 x^{2} + 11 x + 1$

Этап 1

Запишем $y = 0.03 x^{2} + 11 x + 1$ в виде функции.

$f (x) = 0.03 x^{2} + 11 x + 1$

Этап 2

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 3

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = 0.03 {(x + h)}^{2} + 11 (x + h) + 1$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 0.03 ((x + h) (x + h)) + 11 (x + h) + 1$

Этап 3.1.2.1.2

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 0.03 (x (x + h) + h (x + h)) + 11 (x + h) + 1$

Этап 3.1.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 0.03 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 11 (x + h) + 1$

Этап 3.1.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 0.03 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 11 (x + h) + 1$

Этап 3.1.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = 0.03 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 11 (x + h) + 1$

Этап 3.1.2.1.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = 0.03 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 11 (x + h) + 1$

Этап 3.1.2.1.3.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = 0.03 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 11 (x + h) + 1$

Этап 3.1.2.1.3.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = 0.03 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 11 (x + h) + 1$

Этап 3.1.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 0.03 x^{2} + 0.03 (2 h x) + 0.03 h^{2} + 11 (x + h) + 1$

Этап 3.1.2.1.5

Умножим $2$ на $0.03$ .

$f (x + h) = 0.03 x^{2} + 0.06 (h x) + 0.03 h^{2} + 11 (x + h) + 1$

Этап 3.1.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 0.03 x^{2} + 0.06 h x + 0.03 h^{2} + 11 x + 11 h + 1$

Этап 3.1.2.2

Окончательный ответ: $0.03 x^{2} + 0.06 h x + 0.03 h^{2} + 11 x + 11 h + 1$ .

$0.03 x^{2} + 0.06 h x + 0.03 h^{2} + 11 x + 11 h + 1$

Этап 3.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем $11 x$ .

$0.03 x^{2} + 0.06 h x + 0.03 h^{2} + 11 h + 11 x + 1$

Этап 3.2.2

Перенесем $0.03 x^{2}$ .

$0.06 h x + 0.03 h^{2} + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1$

Этап 3.2.3

Изменим порядок $0.06 h x$ и $0.03 h^{2}$ .

$0.03 h^{2} + 0.06 h x + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1$

Этап 3.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = 0.03 h^{2} + 0.06 h x + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1$

$f (x) = 0.03 x^{2} + 11 x + 1$

$f (x + h) = 0.03 h^{2} + 0.06 h x + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1$

$f (x) = 0.03 x^{2} + 11 x + 1$

Этап 4

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{0.03 h^{2} + 0.06 h x + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $0.01$ из $0.03 h^{2} + 0.06 h x + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Перенесем $h$ .

$\frac{0.03 h^{2} + 0.06 x h + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

Этап 5.1.1.2

Вынесем множитель $0.01$ из $0.03 h^{2}$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.06 x h + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

Этап 5.1.1.3

Вынесем множитель $0.01$ из $0.06 x h$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h) + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

Этап 5.1.1.4

Вынесем множитель $0.01$ из $0.03 x^{2}$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h) + 0.01 (3 x^{2}) + 11 h + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

Этап 5.1.1.5

Вынесем множитель $0.01$ из $11 h$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h) + 0.01 (3 x^{2}) + 0.01 (1100 h) + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

Этап 5.1.1.6

Вынесем множитель $0.01$ из $11 x$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h) + 0.01 (3 x^{2}) + 0.01 (1100 h) + 0.01 (1100 x) + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

Этап 5.1.1.7

Вынесем множитель $0.01$ из $1$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h) + 0.01 (3 x^{2}) + 0.01 (1100 h) + 0.01 (1100 x) + 0.01 (100) - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

Этап 5.1.1.8

Вынесем множитель $0.01$ из $- (0.03 x^{2} + 11 x + 1)$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h) + 0.01 (3 x^{2}) + 0.01 (1100 h) + 0.01 (1100 x) + 0.01 (100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

Этап 5.1.1.9

Вынесем множитель $0.01$ из $0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h)$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h) + 0.01 (3 x^{2}) + 0.01 (1100 h) + 0.01 (1100 x) + 0.01 (100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

Этап 5.1.1.10

Вынесем множитель $0.01$ из $0.01 (3 h^{2} + 6 x h) + 0.01 (3 x^{2})$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2}) + 0.01 (1100 h) + 0.01 (1100 x) + 0.01 (100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

Этап 5.1.1.11

Вынесем множитель $0.01$ из $0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2}) + 0.01 (1100 h)$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h) + 0.01 (1100 x) + 0.01 (100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

Этап 5.1.1.12

Вынесем множитель $0.01$ из $0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h) + 0.01 (1100 x)$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x) + 0.01 (100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

Этап 5.1.1.13

Вынесем множитель $0.01$ из $0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x) + 0.01 (100)$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

Этап 5.1.1.14

Вынесем множитель $0.01$ из $0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100 - 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

Этап 5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100 - 100 (0.03 x^{2}) - 100 (11 x) - 100 \cdot 1)}{h}$

Этап 5.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Умножим $0.03$ на $- 100$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100 - 3 x^{2} - 100 (11 x) - 100 \cdot 1)}{h}$

Этап 5.1.3.2

Умножим $11$ на $- 100$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100 - 3 x^{2} - 1100 x - 100 \cdot 1)}{h}$

Этап 5.1.3.3

Умножим $- 100$ на $1$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100 - 3 x^{2} - 1100 x - 100)}{h}$

Этап 5.1.4

Вычтем $3 x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100 - 1100 x - 100)}{h}$

Этап 5.1.5

Вычтем $1100 x$ из $1100 x$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h + 0 + 100 - 100)}{h}$

Этап 5.1.6

Добавим $3 h^{2}$ и $0$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h + 100 - 100)}{h}$

Этап 5.1.7

Вычтем $100$ из $100$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h + 0)}{h}$

Этап 5.1.8

Добавим $3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h$ и $0$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h)}{h}$

Этап 5.1.9

Перепишем $3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.9.1

Вынесем множитель $3 h$ из $3 h^{2} + 6 x h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.9.1.1

Вынесем множитель $3 h$ из $3 h^{2}$ .

$\frac{0.01 (3 h \cdot h + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h)}{h}$

Этап 5.1.9.1.2

Вынесем множитель $3 h$ из $6 x h$ .

$\frac{0.01 (3 h \cdot h + 3 h (2 x) + 0 x^{2} + 1100 h)}{h}$

Этап 5.1.9.1.3

Вынесем множитель $3 h$ из $3 h \cdot h + 3 h (2 x)$ .

$\frac{0.01 (3 h (h + 2 x) + 0 x^{2} + 1100 h)}{h}$

Этап 5.1.9.2

Вынесем множитель $1100$ из $0 x^{2} + 1100 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.9.2.1

Вынесем множитель $1100$ из $0 x^{2}$ .

$\frac{0.01 (3 h (h + 2 x) + 1100 (0 x^{2}) + 1100 h)}{h}$

Этап 5.1.9.2.2

Вынесем множитель $1100$ из $1100 h$ .

$\frac{0.01 (3 h (h + 2 x) + 1100 (0 x^{2}) + 1100 h)}{h}$

Этап 5.1.9.2.3

Вынесем множитель $1100$ из $1100 (0 x^{2}) + 1100 h$ .

$\frac{0.01 (3 h (h + 2 x) + 1100 (0 x^{2} + h))}{h}$

Этап 5.1.9.3

Умножим $0$ на $x^{2}$ .

$\frac{0.01 (3 h (h + 2 x) + 1100 (0 + h))}{h}$

Этап 5.1.9.4

Добавим $0$ и $h$ .

$\frac{0.01 (3 h (h + 2 x) + 1100 h)}{h}$

Этап 5.1.9.5

Вынесем множитель $h$ из $3 h (h + 2 x) + 1100 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.9.5.1

Вынесем множитель $h$ из $3 h (h + 2 x)$ .

$\frac{0.01 (h (3 (h + 2 x)) + 1100 h)}{h}$

Этап 5.1.9.5.2

Вынесем множитель $h$ из $1100 h$ .

$\frac{0.01 (h (3 (h + 2 x)) + h \cdot 1100)}{h}$

Этап 5.1.9.5.3

Вынесем множитель $h$ из $h (3 (h + 2 x)) + h \cdot 1100$ .

$\frac{0.01 (h (3 (h + 2 x) + 1100))}{h}$

Этап 5.1.9.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{0.01 (h (3 h + 3 (2 x) + 1100))}{h}$

Этап 5.1.9.7

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{0.01 (h (3 h + 6 x + 1100))}{h}$

$\frac{0.01 h (3 h + 6 x + 1100)}{h}$

Этап 5.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.01 h (3 h + 6 x + 1100)}{h}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $0.01 (3 h + 6 x + 1100)$ на $1$ .

$0.01 (3 h + 6 x + 1100)$

Этап 5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$0.01 (3 h) + 0.01 (6 x) + 0.01 \cdot 1100$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $3$ на $0.01$ .

$0.03 h + 0.01 (6 x) + 0.01 \cdot 1100$

Этап 5.3.2

Умножим $6$ на $0.01$ .

$0.03 h + 0.06 x + 0.01 \cdot 1100$

Этап 5.3.3

Умножим $0.01$ на $1100$ .

$0.03 h + 0.06 x + 11$

Этап 5.4

Изменим порядок $0.03 h$ и $0.06 x$ .

$0.06 x + 0.03 h + 11$

Этап 6