Основы мат. анализа Примеры

$y = 4 x^{2}$

Этап 1

Запишем $y = 4 x^{2}$ в виде функции.

$f (x) = 4 x^{2}$

Этап 2

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 3

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = 4 {(x + h)}^{2}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 4 ((x + h) (x + h))$

Этап 3.1.2.2

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 4 (x (x + h) + h (x + h))$

Этап 3.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 4 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Этап 3.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 4 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Этап 3.1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Этап 3.1.2.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Этап 3.1.2.3.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Этап 3.1.2.3.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Этап 3.1.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 (2 h x) + 4 h^{2}$

Этап 3.1.2.5

Умножим $2$ на $4$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$

Этап 3.1.2.6

Окончательный ответ: $4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$ .

$4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$

Этап 3.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем $4 x^{2}$ .

$8 h x + 4 h^{2} + 4 x^{2}$

Этап 3.2.2

Изменим порядок $8 h x$ и $4 h^{2}$ .

$4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

Этап 3.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

$f (x) = 4 x^{2}$

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

$f (x) = 4 x^{2}$

Этап 4

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - (4 x^{2})}{h}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Перепишем $4 h^{2}$ в виде ${(2 h)}^{2}$ .

$\frac{{(2 h)}^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2}}{h}$

Этап 5.1.1.2

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{{(2 h)}^{2} + 8 h x + {(2 x)}^{2} - 1 \cdot 4 x^{2}}{h}$

Этап 5.1.1.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 h x = 2 \cdot (2 h) \cdot (2 x)$

Этап 5.1.1.4

Перепишем многочлен.

$\frac{{(2 h)}^{2} + 2 \cdot (2 h) \cdot (2 x) + {(2 x)}^{2} - 1 \cdot 4 x^{2}}{h}$

Этап 5.1.1.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = 2 h$ и $b = 2 x$ .

$\frac{{(2 h + 2 x)}^{2} - 1 \cdot 4 x^{2}}{h}$

Этап 5.1.2

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{{(2 h + 2 x)}^{2} - {(2 x)}^{2}}{h}$

Этап 5.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 h + 2 x$ и $b = 2 x$ .

$\frac{(2 h + 2 x + 2 x) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

Этап 5.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$\frac{(2 h + 4 x) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

Этап 5.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $2 h + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 h$ .

$\frac{(2 h + 4 x) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

Этап 5.1.4.2.2

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$\frac{(2 h + 2 (2 x)) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

Этап 5.1.4.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 h + 2 (2 x)$ .

$\frac{2 (h + 2 x) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

Этап 5.1.4.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 (h + 2 x) (2 h + 2 x - 2 x)}{h}$

Этап 5.1.5

Объединим противоположные члены в $2 h + 2 x - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{2 (h + 2 x) (2 h + 0)}{h}$

Этап 5.1.5.2

Добавим $2 h$ и $0$ .

$\frac{2 (h + 2 x) (2 h)}{h}$

$\frac{2 (h + 2 x) \cdot 2 h}{h}$

Этап 5.1.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 (h + 2 x) h}{h}$

Этап 5.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (h + 2 x) h}{h}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $4 (h + 2 x)$ на $1$ .

$4 (h + 2 x)$

Этап 5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 h + 4 (2 x)$

Этап 5.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $2$ на $4$ .

$4 h + 8 x$

Этап 5.2.3.2

Изменим порядок $4 h$ и $8 x$ .

$8 x + 4 h$

Этап 6