Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 4 e^{2 x} - 1$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = 4 e^{2 (x + h)} - 1$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 4 e^{2 x + 2 h} - 1$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $4 e^{2 x + 2 h} - 1$ .

$4 e^{2 x + 2 h} - 1$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = 4 e^{2 x + 2 h} - 1$

$f (x) = 4 e^{2 x} - 1$

$f (x + h) = 4 e^{2 x + 2 h} - 1$

$f (x) = 4 e^{2 x} - 1$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{4 e^{2 x + 2 h} - 1 - (4 e^{2 x} - 1)}{h}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 e^{2 x + 2 h} - 1 - (4 e^{2 x}) - - 1}{h}$

Этап 4.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{4 e^{2 x + 2 h} - 1 - 4 e^{2 x} - - 1}{h}$

Этап 4.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{4 e^{2 x + 2 h} - 1 - 4 e^{2 x} + 1}{h}$

Этап 4.4

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{4 e^{2 x + 2 h} + 0 - 4 e^{2 x}}{h}$

Этап 4.5

Добавим $4 e^{2 x + 2 h}$ и $0$ .

$\frac{4 e^{2 x + 2 h} - 4 e^{2 x}}{h}$

Этап 4.6

Перепишем $4 e^{2 x + 2 h} - 4 e^{2 x}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем множитель $4$ из $4 e^{2 x + 2 h} - 4 e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 e^{2 x + 2 h}$ .

$\frac{4 e^{2 x + 2 h} - 4 e^{2 x}}{h}$

Этап 4.6.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 e^{2 x}$ .

$\frac{4 e^{2 x + 2 h} + 4 (- e^{2 x})}{h}$

Этап 4.6.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 e^{2 x + 2 h} + 4 (- e^{2 x})$ .

$\frac{4 (e^{2 x + 2 h} - e^{2 x})}{h}$

Этап 4.6.2

Перепишем $e^{2 x + 2 h}$ в виде ${(e^{x + h})}^{2}$ .

$\frac{4 ({(e^{x + h})}^{2} - e^{2 x})}{h}$

Этап 4.6.3

Перепишем $e^{2 x}$ в виде ${(e^{x})}^{2}$ .

$\frac{4 ({(e^{x + h})}^{2} - {(e^{x})}^{2})}{h}$

Этап 4.6.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = e^{x + h}$ и $b = e^{x}$ .

$\frac{4 (e^{x + h} + e^{x}) (e^{x + h} - e^{x})}{h}$

Этап 5