Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{1}{8} x^{3} - x^{2}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{8} \cdot {(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (x + h) = \frac{1}{8} \cdot (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) - {(x + h)}^{2}$

Этап 2.1.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{1}{8} x^{3} + \frac{1}{8} \cdot (3 x^{2} h) + \frac{1}{8} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

Этап 2.1.2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1

Объединим $\frac{1}{8}$ и $x^{3}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{1}{8} \cdot (3 x^{2} h) + \frac{1}{8} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

Этап 2.1.2.1.3.2

Умножим $\frac{1}{8} (3 x^{2} h)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.2.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{8}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3}{8} \cdot (x^{2} h) + \frac{1}{8} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

Этап 2.1.2.1.3.2.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{3}{8}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot 3}{8} \cdot h + \frac{1}{8} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

Этап 2.1.2.1.3.2.3

Объединим $\frac{x^{2} \cdot 3}{8}$ и $h$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot (3 h)}{8} + \frac{1}{8} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

Этап 2.1.2.1.3.3

Умножим $\frac{1}{8} (3 x h^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.3.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{8}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot (3 h)}{8} + \frac{3}{8} \cdot (x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

Этап 2.1.2.1.3.3.2

Объединим $x$ и $\frac{3}{8}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot (3 h)}{8} + \frac{x \cdot 3}{8} \cdot h^{2} + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

Этап 2.1.2.1.3.3.3

Объединим $\frac{x \cdot 3}{8}$ и $h^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot (3 h)}{8} + \frac{x \cdot (3 h^{2})}{8} + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

Этап 2.1.2.1.3.4

Объединим $\frac{1}{8}$ и $h^{3}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot (3 h)}{8} + \frac{x \cdot (3 h^{2})}{8} + \frac{h^{3}}{8} - {(x + h)}^{2}$

Этап 2.1.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.4.1

Перенесем $3$ влево от $x^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 \cdot (x^{2} h)}{8} + \frac{x \cdot (3 h^{2})}{8} + \frac{h^{3}}{8} - {(x + h)}^{2}$

Этап 2.1.2.1.4.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - {(x + h)}^{2}$

Этап 2.1.2.1.5

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - ((x + h) (x + h))$

Этап 2.1.2.1.6

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x (x + h) + h (x + h))$

Этап 2.1.2.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Этап 2.1.2.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Этап 2.1.2.1.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.7.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Этап 2.1.2.1.7.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Этап 2.1.2.1.7.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.7.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Этап 2.1.2.1.7.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Этап 2.1.2.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - (2 h x) - h^{2}$

Этап 2.1.2.1.9

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - 2 h x - h^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

Этап 2.2.2

Перенесем $x$ .

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

Этап 2.2.3

Перенесем $- x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{h^{3}}{8} - 2 h x - h^{2} - x^{2}$

Этап 2.2.4

Перенесем $- 2 h x$ .

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{h^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

Этап 2.2.5

Перенесем $\frac{x^{3}}{8}$ .

$\frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{h^{3}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

Этап 2.2.6

Перенесем $\frac{3 h x^{2}}{8}$ .

$\frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

Этап 2.2.7

Изменим порядок $\frac{3 h^{2} x}{8}$ и $\frac{h^{3}}{8}$ .

$\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

$f (x) = \frac{x^{3}}{8} - x^{2}$

$f (x + h) = \frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

$f (x) = \frac{x^{3}}{8} - x^{2}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - (\frac{x^{3}}{8} - x^{2})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - \frac{x^{3}}{8} - - x^{2}}{h}$

Этап 4.1.2

Умножим $- - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - \frac{x^{3}}{8} + 1 x^{2}}{h}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - \frac{x^{3}}{8} + x^{2}}{h}$

Этап 4.1.3

Вычтем $\frac{x^{3}}{8}$ из $\frac{x^{3}}{8}$ .

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 0 + x^{2}}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $\frac{h^{3}}{8}$ и $0$ .

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + x^{2}}{h}$

Этап 4.1.5

Добавим $- x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x + 0}{h}$

Этап 4.1.6

Добавим $\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x$ и $0$ .

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Этап 4.1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{h^{3} + 3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Этап 4.1.8

Вынесем множитель $h^{2}$ из $h^{3} + 3 h^{2} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Вынесем множитель $h^{2}$ из $h^{3}$ .

$\frac{\frac{h^{2} h + 3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Этап 4.1.8.2

Вынесем множитель $h^{2}$ из $3 h^{2} x$ .

$\frac{\frac{h^{2} h + h^{2} (3 x)}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Этап 4.1.8.3

Вынесем множитель $h^{2}$ из $h^{2} h + h^{2} (3 x)$ .

$\frac{\frac{h^{2} (h + 3 x)}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Этап 4.1.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{h^{2} (h + 3 x) + 3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Этап 4.1.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.10.1

Вынесем множитель $h$ из $h^{2} (h + 3 x) + 3 h x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.10.1.1

Вынесем множитель $h$ из $h^{2} (h + 3 x)$ .

$\frac{\frac{h (h (h + 3 x)) + 3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Этап 4.1.10.1.2

Вынесем множитель $h$ из $3 h x^{2}$ .

$\frac{\frac{h (h (h + 3 x)) + h (3 x^{2})}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Этап 4.1.10.1.3

Вынесем множитель $h$ из $h (h (h + 3 x)) + h (3 x^{2})$ .

$\frac{\frac{h (h (h + 3 x) + 3 x^{2})}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Этап 4.1.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{h (h (h) + h (3 x) + 3 x^{2})}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Этап 4.1.10.3

Умножим $h$ на $h$ .

$\frac{\frac{h (h^{2} + h (3 x) + 3 x^{2})}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Этап 4.1.10.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Этап 4.1.11

Чтобы записать $- h^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{8} - h^{2} \cdot \frac{8}{8} - 2 h x}{h}$

Этап 4.1.12

Объединим $- h^{2}$ и $\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{8} + \frac{- h^{2} \cdot 8}{8} - 2 h x}{h}$

Этап 4.1.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) - h^{2} \cdot 8}{8} - 2 h x}{h}$

Этап 4.1.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.14.1

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) - h^{2} \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.14.1.1

Вынесем множитель $h$ из $- h^{2} \cdot 8$ .

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- h \cdot 8)}{8} - 2 h x}{h}$

Этап 4.1.14.1.2

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- h \cdot 8)$ .

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - h \cdot 8)}{8} - 2 h x}{h}$

Этап 4.1.14.2

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h)}{8} - 2 h x}{h}$

Этап 4.1.15

Чтобы записать $- 2 h x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h)}{8} - 2 h x \cdot \frac{8}{8}}{h}$

Этап 4.1.16

Объединим $- 2 h x$ и $\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h)}{8} + \frac{- 2 h x \cdot 8}{8}}{h}$

Этап 4.1.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h) - 2 h x \cdot 8}{8}}{h}$

Этап 4.1.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.18.1

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h) - 2 h x \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.18.1.1

Вынесем множитель $h$ из $- 2 h x \cdot 8$ .

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h) + h (- 2 x \cdot 8)}{8}}{h}$

Этап 4.1.18.1.2

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h) + h (- 2 x \cdot 8)$ .

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 2 x \cdot 8)}{8}}{h}$

Этап 4.1.18.2

Умножим $8$ на $- 2$ .

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x)}{8}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x)}{8} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Объединим.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x) \cdot 1}{8 h}$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x) \cdot 1}{8 h}$

Этап 4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x) \cdot 1}{8}$

Этап 4.5

Умножим $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x$ на $1$ .

$\frac{h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x}{8}$

Этап 5