Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ , $[4, 9]$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ в виде уравнения.

$y = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Этап 2

Подставим, используя формулу средней скорости изменения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Среднюю скорость изменения функции можно найти, вычислив разность значений $y$ в двух точках и поделив на разность значений $x$ этих двух точек.

$\frac{f (9) - f (4)}{(9) - (4)}$

Этап 2.2

Подставим уравнение $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ в $f (9)$ и $f (4)$ , заменив $x$ в функции соответствующим значением $x$ .

$\frac{(\frac{1}{\sqrt{9}}) - (\frac{1}{\sqrt{4}})}{(9) - (4)}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{9} \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{\frac{1}{\sqrt{9}} - \frac{1}{\sqrt{4}}}{9 - (4)}$ на $\frac{\sqrt{9} \sqrt{4}}{\sqrt{9} \sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{9} \sqrt{4}}{\sqrt{9} \sqrt{4}} \cdot \frac{\frac{1}{\sqrt{9}} - \frac{1}{\sqrt{4}}}{9 - (4)}$

Этап 3.1.2

Объединим.

$\frac{\sqrt{9} \sqrt{4} (\frac{1}{\sqrt{9}} - \frac{1}{\sqrt{4}})}{\sqrt{9} \sqrt{4} (9 - (4))}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{9} \sqrt{4} \frac{1}{\sqrt{9}} + \sqrt{9} \sqrt{4} (- \frac{1}{\sqrt{4}})}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Этап 3.3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $\sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $\sqrt{9}$ из $\sqrt{9} \sqrt{4}$ .

$\frac{\sqrt{9} (\sqrt{4}) \frac{1}{\sqrt{9}} + \sqrt{9} \sqrt{4} (- \frac{1}{\sqrt{4}})}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{9} \sqrt{4} \frac{1}{\sqrt{9}} + \sqrt{9} \sqrt{4} (- \frac{1}{\sqrt{4}})}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{9} \sqrt{4} (- \frac{1}{\sqrt{4}})}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $\sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{\sqrt{4}}$ в числитель.

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{9} \sqrt{4} \frac{- 1}{\sqrt{4}}}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Этап 3.3.2.2

Вынесем множитель $\sqrt{4}$ из $\sqrt{9} \sqrt{4}$ .

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{4} \sqrt{9} \frac{- 1}{\sqrt{4}}}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Этап 3.3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{4} \sqrt{9} \frac{- 1}{\sqrt{4}}}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Этап 3.3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{9} \cdot - 1}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} + \sqrt{9} \cdot - 1}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Этап 3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2 + \sqrt{9} \cdot - 1}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Этап 3.4.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3^{2}} \cdot - 1}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Этап 3.4.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2 + 3 \cdot - 1}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Этап 3.4.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{2 - 3}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Этап 3.4.6

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{- 1}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Этап 3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{- 1}{\sqrt{3^{2}} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Этап 3.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{- 1}{3 \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Этап 3.5.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{- 1}{3 \sqrt{2^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Этап 3.5.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{- 1}{3 \cdot 2 \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Этап 3.5.5

Умножим $3 \cdot 2 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{- 1}{6 \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Этап 3.5.5.2

Умножим $6$ на $9$ .

$\frac{- 1}{54 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Этап 3.5.6

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{- 1}{54 + \sqrt{3^{2}} \sqrt{4} (- (4))}$

Этап 3.5.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{- 1}{54 + 3 \sqrt{4} (- (4))}$

Этап 3.5.8

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{- 1}{54 + 3 \sqrt{2^{2}} (- (4))}$

Этап 3.5.9

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{- 1}{54 + 3 \cdot 2 (- (4))}$

Этап 3.5.10

Умножим $3 \cdot 2 (- (4))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.10.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{- 1}{54 + 6 (- (4))}$

Этап 3.5.10.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{- 1}{54 + 6 \cdot - 4}$

Этап 3.5.10.3

Умножим $6$ на $- 4$ .

$\frac{- 1}{54 - 24}$

Этап 3.5.11

Вычтем $24$ из $54$ .

$\frac{- 1}{30}$

Этап 3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{30}$