Основы мат. анализа Примеры

$\frac{f (x) - f (1)}{x - 1}$

Этап 1

Запишем $\frac{f (x) - f (1)}{x - 1}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{f (x) - f (1)}{x - 1}$

Этап 2

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 3

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{f (x + h) - f \cdot 1}{(x + h) - 1}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Вынесем множитель $f$ из $f (x + h) - f \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $f$ из $- f \cdot 1$ .

$f (x + h) = \frac{f (x + h) + f (- 1 \cdot 1)}{x + h - 1}$

Этап 3.1.2.1.1.2

Вынесем множитель $f$ из $f (x + h) + f (- 1 \cdot 1)$ .

$f (x + h) = \frac{f (x + h - 1 \cdot 1)}{x + h - 1}$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (x + h) = \frac{f (x + h - 1)}{x + h - 1}$

Этап 3.1.2.2

Сократим общий множитель $x + h - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f (x + h) = \frac{f (x + h - 1)}{x + h - 1}$

Этап 3.1.2.2.2

Разделим $f$ на $1$ .

$f (x + h) = f$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ: $f$ .

$f$

Этап 3.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = f$

$f (x) = \frac{f (x) - f}{x - 1}$

$f (x + h) = f$

$f (x) = \frac{f (x) - f}{x - 1}$

Этап 4

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{f - (\frac{f (x) - f}{x - 1})}{h}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Чтобы записать $f$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{\frac{f (x - 1)}{x - 1} - \frac{f (x) - f}{x - 1}}{h}$

Этап 5.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{f (x - 1) - (f (x) - f)}{x - 1}}{h}$

Этап 5.1.3

Перепишем $\frac{f (x - 1) - (f (x) - f)}{x - 1}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{f x + f \cdot - 1 - (f (x) - f)}{x - 1}}{h}$

Этап 5.1.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $f$ .

$\frac{\frac{f x - 1 \cdot f - (f (x) - f)}{x - 1}}{h}$

Этап 5.1.3.3

Перепишем $- 1 f$ в виде $- f$ .

$\frac{\frac{f x - f - (f (x) - f)}{x - 1}}{h}$

Этап 5.1.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{f x - f - f (x) - - f}{x - 1}}{h}$

Этап 5.1.3.5

Умножим $- - f$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{f x - f - f (x) + 1 f}{x - 1}}{h}$

Этап 5.1.3.5.2

Умножим $f$ на $1$ .

$\frac{\frac{f x - f - f (x) + f}{x - 1}}{h}$

Этап 5.1.3.6

Добавим $- f$ и $f$ .

$\frac{\frac{f x + 0 - f (x)}{x - 1}}{h}$

Этап 5.1.3.7

Добавим $f x$ и $0$ .

$\frac{\frac{f x - f (x)}{x - 1}}{h}$

Этап 5.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{f x - f (x)}{x - 1} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 5.3

Умножим $\frac{f x - f (x)}{x - 1}$ на $\frac{1}{h}$ .

$\frac{f x - f (x)}{(x - 1) h}$

Этап 5.4

Изменим порядок множителей в $\frac{f x - f (x)}{(x - 1) h}$ .

$\frac{f x - f (x)}{h (x - 1)}$

Этап 6