Основы мат. анализа Примеры

$f (t) = \frac{95 t}{99 t - 95}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = t + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $t + h$ .

$f (t + h) = \frac{95 (t + h)}{99 (t + h) - 95}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (t + h) = \frac{95 (t + h)}{99 t + 99 h - 95}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $\frac{95 (t + h)}{99 t + 99 h - 95}$ .

$\frac{95 (t + h)}{99 t + 99 h - 95}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (t + h) = \frac{95 (t + h)}{99 t + 99 h - 95}$

$f (t) = \frac{95 t}{99 t - 95}$

$f (t + h) = \frac{95 (t + h)}{99 t + 99 h - 95}$

$f (t) = \frac{95 t}{99 t - 95}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (t + h) - f t}{h} = \frac{\frac{95 (t + h)}{99 t + 99 h - 95} - (\frac{95 t}{99 t - 95})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $\frac{95 (t + h)}{99 t + 99 h - 95}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{99 t - 95}{99 t - 95}$ .

$\frac{\frac{95 (t + h)}{99 t + 99 h - 95} \cdot \frac{99 t - 95}{99 t - 95} - \frac{95 t}{99 t - 95}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{95 t}{99 t - 95}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{99 t + 99 h - 95}{99 t + 99 h - 95}$ .

$\frac{\frac{95 (t + h)}{99 t + 99 h - 95} \cdot \frac{99 t - 95}{99 t - 95} - \frac{95 t}{99 t - 95} \cdot \frac{99 t + 99 h - 95}{99 t + 99 h - 95}}{h}$

Этап 4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $\frac{95 (t + h)}{99 t + 99 h - 95}$ на $\frac{99 t - 95}{99 t - 95}$ .

$\frac{\frac{95 (t + h) (99 t - 95)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)} - \frac{95 t}{99 t - 95} \cdot \frac{99 t + 99 h - 95}{99 t + 99 h - 95}}{h}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\frac{95 t}{99 t - 95}$ на $\frac{99 t + 99 h - 95}{99 t + 99 h - 95}$ .

$\frac{\frac{95 (t + h) (99 t - 95)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)} - \frac{95 t (99 t + 99 h - 95)}{(99 t - 95) (99 t + 99 h - 95)}}{h}$

Этап 4.1.3.3

Изменим порядок множителей в $(99 t - 95) (99 t + 99 h - 95)$ .

$\frac{\frac{95 (t + h) (99 t - 95)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)} - \frac{95 t (99 t + 99 h - 95)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{95 (t + h) (99 t - 95) - 95 t (99 t + 99 h - 95)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Этап 4.1.5

Перепишем $\frac{95 (t + h) (99 t - 95) - 95 t (99 t + 99 h - 95)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Вынесем множитель $95$ из $95 (t + h) (99 t - 95) - 95 t (99 t + 99 h - 95)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1.1

Вынесем множитель $95$ из $95 (t + h) (99 t - 95)$ .

$\frac{\frac{95 ((t + h) (99 t - 95)) - 95 t (99 t + 99 h - 95)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Этап 4.1.5.1.2

Вынесем множитель $95$ из $- 95 t (99 t + 99 h - 95)$ .

$\frac{\frac{95 ((t + h) (99 t - 95)) + 95 (- t (99 t + 99 h - 95))}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Этап 4.1.5.1.3

Вынесем множитель $95$ из $95 ((t + h) (99 t - 95)) + 95 (- t (99 t + 99 h - 95))$ .

$\frac{\frac{95 ((t + h) (99 t - 95) - t (99 t + 99 h - 95))}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Этап 4.1.5.2

Развернем $(t + h) (99 t - 95)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{95 (t (99 t - 95) + h (99 t - 95) - t (99 t + 99 h - 95))}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{95 (t (99 t) + t \cdot - 95 + h (99 t - 95) - t (99 t + 99 h - 95))}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{95 (t (99 t) + t \cdot - 95 + h (99 t) + h \cdot - 95 - t (99 t + 99 h - 95))}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Этап 4.1.5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{95 (99 t \cdot t + t \cdot - 95 + h (99 t) + h \cdot - 95 - t (99 t + 99 h - 95))}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Этап 4.1.5.3.2

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.2.1

Перенесем $t$ .

$\frac{\frac{95 (99 (t \cdot t) + t \cdot - 95 + h (99 t) + h \cdot - 95 - t (99 t + 99 h - 95))}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Этап 4.1.5.3.2.2

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{\frac{95 (99 t^{2} + t \cdot - 95 + h (99 t) + h \cdot - 95 - t (99 t + 99 h - 95))}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Этап 4.1.5.3.3

Перенесем $- 95$ влево от $t$ .

$\frac{\frac{95 (99 t^{2} - 95 \cdot t + h (99 t) + h \cdot - 95 - t (99 t + 99 h - 95))}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Этап 4.1.5.3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{95 (99 t^{2} - 95 t + 99 h t + h \cdot - 95 - t (99 t + 99 h - 95))}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Этап 4.1.5.3.5

Перенесем $- 95$ влево от $h$ .

$\frac{\frac{95 (99 t^{2} - 95 t + 99 h t - 95 h - t (99 t + 99 h - 95))}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Этап 4.1.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{95 (99 t^{2} - 95 t + 99 h t - 95 h - t (99 t) - t (99 h) - t \cdot - 95)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Этап 4.1.5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{95 (99 t^{2} - 95 t + 99 h t - 95 h - 1 \cdot 99 t \cdot t - t (99 h) - t \cdot - 95)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Этап 4.1.5.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{95 (99 t^{2} - 95 t + 99 h t - 95 h - 1 \cdot 99 t \cdot t - 1 \cdot 99 t h - t \cdot - 95)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Этап 4.1.5.5.3

Умножим $- 95$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{95 (99 t^{2} - 95 t + 99 h t - 95 h - 1 \cdot 99 t \cdot t - 1 \cdot 99 t h + 95 t)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Этап 4.1.5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.6.1

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.6.1.1

Перенесем $t$ .

$\frac{\frac{95 (99 t^{2} - 95 t + 99 h t - 95 h - 1 \cdot 99 (t \cdot t) - 1 \cdot 99 t h + 95 t)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Этап 4.1.5.6.1.2

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{\frac{95 (99 t^{2} - 95 t + 99 h t - 95 h - 1 \cdot 99 t^{2} - 1 \cdot 99 t h + 95 t)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Этап 4.1.5.6.2

Умножим $- 1$ на $99$ .

$\frac{\frac{95 (99 t^{2} - 95 t + 99 h t - 95 h - 99 t^{2} - 1 \cdot 99 t h + 95 t)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Этап 4.1.5.6.3

Умножим $- 1$ на $99$ .

$\frac{\frac{95 (99 t^{2} - 95 t + 99 h t - 95 h - 99 t^{2} - 99 t h + 95 t)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Этап 4.1.5.7

Вычтем $99 t^{2}$ из $99 t^{2}$ .

$\frac{\frac{95 (- 95 t + 99 h t - 95 h + 0 - 99 t h + 95 t)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Этап 4.1.5.8

Добавим $- 95 t$ и $0$ .

$\frac{\frac{95 (- 95 t + 99 h t - 95 h - 99 t h + 95 t)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Этап 4.1.5.9

Добавим $- 95 t$ и $95 t$ .

$\frac{\frac{95 (99 h t - 95 h - 99 t h + 0)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Этап 4.1.5.10

Добавим $99 h t - 95 h - 99 t h$ и $0$ .

$\frac{\frac{95 (99 h t - 95 h - 99 t h)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Этап 4.1.5.11

Вычтем $99 t h$ из $99 h t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.11.1

Перенесем $h$ .

$\frac{\frac{95 (- 95 h + 99 t h - 99 t h)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Этап 4.1.5.11.2

Вычтем $99 t h$ из $99 t h$ .

$\frac{\frac{95 (- 95 h + 0)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Этап 4.1.5.12

Добавим $- 95 h$ и $0$ .

$\frac{\frac{95 \cdot - 95 h}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Этап 4.1.5.13

Умножим $95$ на $- 95$ .

$\frac{\frac{- 9025 h}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Этап 4.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{9025 h}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{9025 h}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{9025 h}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}$ в числитель.

$\frac{- 9025 h}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $h$ из $- 9025 h$ .

$\frac{h \cdot - 9025}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{h \cdot - 9025}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 9025}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}$

Этап 4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{9025}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}$

Этап 5