Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 2 {(x - 2)}^{2} + 1$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = 2 {((x + h) - 2)}^{2} + 1$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Перепишем ${(x + h - 2)}^{2}$ в виде $(x + h - 2) (x + h - 2)$ .

$f (x + h) = 2 ((x + h - 2) (x + h - 2)) + 1$

Этап 2.1.2.1.2

Развернем $(x + h - 2) (x + h - 2)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + x \cdot - 2 + h x + h \cdot h + h \cdot - 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot - 2) + 1$

Этап 2.1.2.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + x \cdot - 2 + h x + h \cdot h + h \cdot - 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot - 2) + 1$

Этап 2.1.2.1.3.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h - 2 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot - 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot - 2) + 1$

Этап 2.1.2.1.3.3

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h - 2 x + h x + h^{2} + h \cdot - 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot - 2) + 1$

Этап 2.1.2.1.3.4

Перенесем $- 2$ влево от $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h - 2 x + h x + h^{2} - 2 \cdot h - 2 x - 2 h - 2 \cdot - 2) + 1$

Этап 2.1.2.1.3.5

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h - 2 x + h x + h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 4) + 1$

Этап 2.1.2.1.4

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.4.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + h x + h x - 2 x + h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 4) + 1$

Этап 2.1.2.1.4.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x - 2 x + h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 4) + 1$

Этап 2.1.2.1.5

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 2 h - 4 x - 2 h + 4) + 1$

Этап 2.1.2.1.6

Вычтем $2 h$ из $- 2 h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 4 h - 4 x + 4) + 1$

Этап 2.1.2.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} + 2 (- 4 h) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4 + 1$

Этап 2.1.2.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.8.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} + 2 (- 4 h) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4 + 1$

Этап 2.1.2.1.8.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} - 8 h + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4 + 1$

Этап 2.1.2.1.8.3

Умножим $- 4$ на $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 2 \cdot 4 + 1$

Этап 2.1.2.1.8.4

Умножим $2$ на $4$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 8 + 1$

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 8 + 1$

Этап 2.1.2.2

Добавим $8$ и $1$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 9$

Этап 2.1.2.3

Окончательный ответ: $2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 9$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 9$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $2 x^{2}$ .

$4 h x + 2 h^{2} + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9$

Этап 2.2.2

Изменим порядок $4 h x$ и $2 h^{2}$ .

$2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9$

$f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 9$

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9$

$f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 9$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9 - (2 x^{2} - 8 x + 9)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9 - (2 x^{2}) - (- 8 x) - 1 \cdot 9}{h}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9 - 2 x^{2} - (- 8 x) - 1 \cdot 9}{h}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9 - 2 x^{2} + 8 x - 1 \cdot 9}{h}$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9 - 2 x^{2} + 8 x - 9}{h}$

Этап 4.1.3

Вычтем $2 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h - 8 x + 9 + 0 + 8 x - 9}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $2 h^{2}$ и $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h - 8 x + 9 + 8 x - 9}{h}$

Этап 4.1.5

Добавим $- 8 x$ и $8 x$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h + 0 + 9 - 9}{h}$

Этап 4.1.6

Добавим $2 h^{2}$ и $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h + 9 - 9}{h}$

Этап 4.1.7

Вычтем $9$ из $9$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h + 0}{h}$

Этап 4.1.8

Добавим $2 h^{2} + 4 h x - 8 h$ и $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h}{h}$

Этап 4.1.9

Вынесем множитель $2 h$ из $2 h^{2} + 4 h x - 8 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.1

Вынесем множитель $2 h$ из $2 h^{2}$ .

$\frac{2 h \cdot h + 4 h x - 8 h}{h}$

Этап 4.1.9.2

Вынесем множитель $2 h$ из $4 h x$ .

$\frac{2 h \cdot h + 2 h (2 x) - 8 h}{h}$

Этап 4.1.9.3

Вынесем множитель $2 h$ из $- 8 h$ .

$\frac{2 h \cdot h + 2 h (2 x) + 2 h \cdot - 4}{h}$

Этап 4.1.9.4

Вынесем множитель $2 h$ из $2 h \cdot h + 2 h (2 x)$ .

$\frac{2 h (h + 2 x) + 2 h \cdot - 4}{h}$

Этап 4.1.9.5

Вынесем множитель $2 h$ из $2 h (h + 2 x) + 2 h \cdot - 4$ .

$\frac{2 h (h + 2 x - 4)}{h}$

Этап 4.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 h (h + 2 x - 4)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $2 (h + 2 x - 4)$ на $1$ .

$2 (h + 2 x - 4)$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 h + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$2 h + 4 x + 2 \cdot - 4$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$2 h + 4 x - 8$

Этап 4.4

Изменим порядок $2 h$ и $4 x$ .

$4 x + 2 h - 8$

Этап 5