Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - 3 x^{2} + x + 1$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = - 3 {(x + h)}^{2} + x + h + 1$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = - 3 {(x + h)}^{2} + x + h + 1$

Этап 2.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = - 3 ((x + h) (x + h)) + x + h + 1$

Этап 2.1.2.2.2

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - 3 (x (x + h) + h (x + h)) + x + h + 1$

Этап 2.1.2.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - 3 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + x + h + 1$

Этап 2.1.2.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + x + h + 1$

Этап 2.1.2.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = - 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + x + h + 1$

Этап 2.1.2.2.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = - 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + x + h + 1$

Этап 2.1.2.2.3.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = - 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + x + h + 1$

Этап 2.1.2.2.3.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = - 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h + 1$

Этап 2.1.2.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - 3 x^{2} - 3 (2 h x) - 3 h^{2} + x + h + 1$

Этап 2.1.2.2.5

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f (x + h) = - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2} + x + h + 1$

Этап 2.1.2.3

Окончательный ответ: $- 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2} + x + h + 1$ .

$- 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2} + x + h + 1$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $x$ .

$- 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2} + h + x + 1$

Этап 2.2.2

Перенесем $- 3 x^{2}$ .

$- 6 h x - 3 h^{2} - 3 x^{2} + h + x + 1$

Этап 2.2.3

Изменим порядок $- 6 h x$ и $- 3 h^{2}$ .

$- 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + h + x + 1$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = - 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + h + x + 1$

$f (x) = - 3 x^{2} + x + 1$

$f (x + h) = - 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + h + x + 1$

$f (x) = - 3 x^{2} + x + 1$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + h + x + 1 - (- 3 x^{2} + x + 1)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + h + x + 1 - (- 3 x^{2}) - x - 1 \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\frac{- 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + h + x + 1 + 3 x^{2} - x - 1 \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 3 h^{2} - 6 h x - 3 x^{2} + h + x + 1 + 3 x^{2} - x - 1}{h}$

Этап 4.1.3

Добавим $- 3 x^{2}$ и $3 x^{2}$ .

$\frac{- 3 h^{2} - 6 h x + h + x + 1 + 0 - x - 1}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $- 3 h^{2}$ и $0$ .

$\frac{- 3 h^{2} - 6 h x + h + x + 1 - x - 1}{h}$

Этап 4.1.5

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{- 3 h^{2} - 6 h x + h + 0 + 1 - 1}{h}$

Этап 4.1.6

Добавим $- 3 h^{2}$ и $0$ .

$\frac{- 3 h^{2} - 6 h x + h + 1 - 1}{h}$

Этап 4.1.7

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{- 3 h^{2} - 6 h x + h + 0}{h}$

Этап 4.1.8

Добавим $- 3 h^{2} - 6 h x + h$ и $0$ .

$\frac{- 3 h^{2} - 6 h x + h}{h}$

Этап 4.1.9

Вынесем множитель $h$ из $- 3 h^{2} - 6 h x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.1

Вынесем множитель $h$ из $- 3 h^{2}$ .

$\frac{h (- 3 h) - 6 h x + h}{h}$

Этап 4.1.9.2

Вынесем множитель $h$ из $- 6 h x$ .

$\frac{h (- 3 h) + h (- 6 x) + h}{h}$

Этап 4.1.9.3

Возведем $h$ в степень $1$ .

$\frac{h (- 3 h) + h (- 6 x) + h^{1}}{h}$

Этап 4.1.9.4

Вынесем множитель $h$ из $h^{1}$ .

$\frac{h (- 3 h) + h (- 6 x) + h \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.9.5

Вынесем множитель $h$ из $h (- 3 h) + h (- 6 x)$ .

$\frac{h (- 3 h - 6 x) + h \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.9.6

Вынесем множитель $h$ из $h (- 3 h - 6 x) + h \cdot 1$ .

$\frac{h (- 3 h - 6 x + 1)}{h}$

Этап 4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (- 3 h - 6 x + 1)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $- 3 h - 6 x + 1$ на $1$ .

$- 3 h - 6 x + 1$

Этап 4.2.2

Изменим порядок $- 3 h$ и $- 6 x$ .

$- 6 x - 3 h + 1$

Этап 5