Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sin (x)$ , $[0, \frac{π}{4}]$

Этап 1

Запишем $f (x) = \sin (x)$ в виде уравнения.

$y = \sin (x)$

Этап 2

Подставим, используя формулу средней скорости изменения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Среднюю скорость изменения функции можно найти, вычислив разность значений $y$ в двух точках и поделив на разность значений $x$ этих двух точек.

$\frac{f (\frac{π}{4}) - f (0)}{(\frac{π}{4}) - (0)}$

Этап 2.2

Подставим уравнение $y = \sin (x)$ в $f (\frac{π}{4})$ и $f (0)$ , заменив $x$ в функции соответствующим значением $x$ .

$\frac{(\sin (\frac{π}{4})) - (\sin (0))}{(\frac{π}{4}) - (0)}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим числитель и знаменатель дроби на $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \sin (0)}{\frac{π}{4} - (0)}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} \cdot \frac{\sin (\frac{π}{4}) - \sin (0)}{\frac{π}{4} - (0)}$

Этап 3.1.2

Объединим.

$\frac{4 (\sin (\frac{π}{4}) - \sin (0))}{4 (\frac{π}{4} - (0))}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 \sin (\frac{π}{4}) + 4 (- \sin (0))}{4 \frac{π}{4} + 4 (- (0))}$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sin (\frac{π}{4}) + 4 (- \sin (0))}{4 \frac{π}{4} + 4 (- (0))}$

Этап 3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 \sin (\frac{π}{4}) + 4 (- \sin (0))}{π + 4 (- (0))}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \sin (\frac{π}{4}) + 4 (- \sin (0))$ .

$\frac{4 (\sin (\frac{π}{4}) - \sin (0))}{π + 4 (- (0))}$

Этап 3.4.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (0))}{π + 4 (- (0))}$

Этап 3.4.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{4 (\frac{\sqrt{2}}{2} - 0)}{π + 4 (- (0))}$

Этап 3.4.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{4 (\frac{\sqrt{2}}{2} + 0)}{π + 4 (- (0))}$

Этап 3.4.5

Добавим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $0$ .

$\frac{4 \frac{\sqrt{2}}{2}}{π + 4 (- (0))}$

Этап 3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $4 (- (0))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{4 \frac{\sqrt{2}}{2}}{π + 4 \cdot 0}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{4 \frac{\sqrt{2}}{2}}{π + 0}$

Этап 3.5.2

Добавим $π$ и $0$ .

$\frac{4 \frac{\sqrt{2}}{2}}{π}$

Этап 3.6

Объединим $4$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{4 \sqrt{2}}{2}}{π}$

Этап 3.7

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Сократим выражение $\frac{4 \sqrt{2}}{2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}}{π}$

Этап 3.7.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}}{π}$

Этап 3.7.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}{π}$

Этап 3.7.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{1}}{π}$

Этап 3.7.2

Разделим $2 \sqrt{2}$ на $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{π}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2 \sqrt{2}}{π}$

Десятичная форма:

$0.90031631 \dots$