Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{3}{x - 2}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{3}{(x + h) - 2}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = \frac{3}{x + h - 2}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $\frac{3}{x + h - 2}$ .

$\frac{3}{x + h - 2}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{3}{x + h - 2}$

$f (x) = \frac{3}{x - 2}$

$f (x + h) = \frac{3}{x + h - 2}$

$f (x) = \frac{3}{x - 2}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{3}{x + h - 2} - (\frac{3}{x - 2})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $\frac{3}{x + h - 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{\frac{3}{x + h - 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{3}{x - 2}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{3}{x - 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + h - 2}{x + h - 2}$ .

$\frac{\frac{3}{x + h - 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{3}{x - 2} \cdot \frac{x + h - 2}{x + h - 2}}{h}$

Этап 4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + h - 2) (x - 2)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $\frac{3}{x + h - 2}$ на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{\frac{3 (x - 2)}{(x + h - 2) (x - 2)} - \frac{3}{x - 2} \cdot \frac{x + h - 2}{x + h - 2}}{h}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\frac{3}{x - 2}$ на $\frac{x + h - 2}{x + h - 2}$ .

$\frac{\frac{3 (x - 2)}{(x + h - 2) (x - 2)} - \frac{3 (x + h - 2)}{(x - 2) (x + h - 2)}}{h}$

Этап 4.1.3.3

Изменим порядок множителей в $(x - 2) (x + h - 2)$ .

$\frac{\frac{3 (x - 2)}{(x + h - 2) (x - 2)} - \frac{3 (x + h - 2)}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{3 (x - 2) - 3 (x + h - 2)}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Этап 4.1.5

Перепишем $\frac{3 (x - 2) - 3 (x + h - 2)}{(x + h - 2) (x - 2)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3 (x - 2) - 3 (x + h - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 (x + h - 2)$ .

$\frac{\frac{3 (x - 2) + 3 (- (x + h - 2))}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Этап 4.1.5.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 (x - 2) + 3 (- (x + h - 2))$ .

$\frac{\frac{3 (x - 2 - (x + h - 2))}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Этап 4.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{3 (x - 2 - x - h - - 2)}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Этап 4.1.5.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{\frac{3 (x - 2 - x - h + 2)}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Этап 4.1.5.4

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{\frac{3 (0 - 2 - h + 2)}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Этап 4.1.5.5

Вычтем $2$ из $0$ .

$\frac{\frac{3 (- 2 - h + 2)}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Этап 4.1.5.6

Добавим $- 2$ и $2$ .

$\frac{\frac{3 (- h + 0)}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Этап 4.1.5.7

Добавим $- h$ и $0$ .

$\frac{\frac{3 \cdot - 1 h}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Этап 4.1.5.8

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.8.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{\frac{- (3 h)}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Этап 4.1.5.8.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{- 3 h}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Этап 4.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{3 h}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{3 h}{(x + h - 2) (x - 2)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3 h}{(x + h - 2) (x - 2)}$ в числитель.

$\frac{- 3 h}{(x + h - 2) (x - 2)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $h$ из $- 3 h$ .

$\frac{h \cdot - 3}{(x + h - 2) (x - 2)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{h \cdot - 3}{(x + h - 2) (x - 2)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3}{(x + h - 2) (x - 2)}$

Этап 4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{(x + h - 2) (x - 2)}$

Этап 5