Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \ln (3 x) + 2.5$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \ln (3 (x + h)) + 2.5$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \ln (3 x + 3 h) + 2.5$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $\ln (3 x + 3 h) + 2.5$ .

$\ln (3 x + 3 h) + 2.5$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \ln (3 x + 3 h) + 2.5$

$f (x) = \ln (3 x) + 2.5$

$f (x + h) = \ln (3 x + 3 h) + 2.5$

$f (x) = \ln (3 x) + 2.5$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\ln (3 x + 3 h) + 2.5 - (\ln (3 x) + 2.5)}{h}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\ln (3 x + 3 h) + 2.5 - \ln (3 x) - 1 \cdot 2.5}{h}$

Этап 4.2

Умножим $- 1$ на $2.5$ .

$\frac{\ln (3 x + 3 h) + 2.5 - \ln (3 x) - 2.5}{h}$

Этап 4.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{3 x + 3 h}{3 x}) + 2.5 - 2.5}{h}$

Этап 4.4

Вычтем $2.5$ из $2.5$ .

$\frac{\ln (\frac{3 x + 3 h}{3 x}) + 0}{h}$

Этап 4.5

Добавим $\ln (\frac{3 x + 3 h}{3 x})$ и $0$ .

$\frac{\ln (\frac{3 x + 3 h}{3 x})}{h}$

Этап 4.6

Сократим общий множитель $3 x + 3 h$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{\ln (\frac{3 (x) + 3 h}{3 x})}{h}$

Этап 4.6.2

Вынесем множитель $3$ из $3 h$ .

$\frac{\ln (\frac{3 (x) + 3 h}{3 x})}{h}$

Этап 4.6.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (x) + 3 h$ .

$\frac{\ln (\frac{3 (x + h)}{3 x})}{h}$

Этап 4.6.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{\ln (\frac{3 (x + h)}{3 (x)})}{h}$

Этап 4.6.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (\frac{3 (x + h)}{3 x})}{h}$

Этап 4.6.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (\frac{x + h}{x})}{h}$

Этап 5