Основы мат. анализа Примеры

Given the function $h (x) = - x^{2} + x + 4$ , determine the average rate of change of the function over the interval $- 1 \leq x \leq 5$

Этап 1

Запишем $h (x) = - x^{2} + x + 4$ в виде уравнения.

$y = - x^{2} + x + 4$

Этап 2

Подставим, используя формулу средней скорости изменения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Среднюю скорость изменения функции можно найти, вычислив разность значений $y$ в двух точках и поделив на разность значений $x$ этих двух точек.

$\frac{f (5) - f (- 1)}{(5) - (- 1)}$

Этап 2.2

Подставим уравнение $y = - x^{2} + x + 4$ в $f (5)$ и $f (- 1)$ , заменив $x$ в функции соответствующим значением $x$ .

$\frac{- {(5)}^{2} + 5 + 4 - (- {(- 1)}^{2} - 1 + 4)}{(5) - (- 1)}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Избавимся от скобок.

$\frac{- {(5)}^{2} + 5 + 4 - (- {(- 1)}^{2} - 1 + 4)}{(5) - (- 1)}$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 25 + 5 + 4 - (- {(- 1)}^{2} - 1 + 4)}{5 - (- 1)}$

Этап 3.2.2

Умножим $- 1$ на $25$ .

$\frac{- 25 + 5 + 4 - (- {(- 1)}^{2} - 1 + 4)}{5 - (- 1)}$

Этап 3.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$\frac{- 25 + 5 + 4 - ({(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2} - 1 + 4)}{5 - (- 1)}$

Этап 3.2.3.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 25 + 5 + 4 - ({(- 1)}^{1 + 2} - 1 + 4)}{5 - (- 1)}$

Этап 3.2.3.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{- 25 + 5 + 4 - ({(- 1)}^{3} - 1 + 4)}{5 - (- 1)}$

Этап 3.2.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{- 25 + 5 + 4 - (- 1 - 1 + 4)}{5 - (- 1)}$

Этап 3.2.4

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$\frac{- 25 + 5 + 4 - (- 2 + 4)}{5 - (- 1)}$

Этап 3.2.5

Добавим $- 2$ и $4$ .

$\frac{- 25 + 5 + 4 - 1 \cdot 2}{5 - (- 1)}$

Этап 3.2.6

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 25 + 5 + 4 - 2}{5 - (- 1)}$

Этап 3.2.7

Добавим $- 25$ и $5$ .

$\frac{- 20 + 4 - 2}{5 - (- 1)}$

Этап 3.2.8

Добавим $- 20$ и $4$ .

$\frac{- 16 - 2}{5 - (- 1)}$

Этап 3.2.9

Вычтем $2$ из $- 16$ .

$\frac{- 18}{5 - (- 1)}$

Этап 3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 18}{5 + 1}$

Этап 3.3.2

Добавим $5$ и $1$ .

$\frac{- 18}{6}$

Этап 3.4

Разделим $- 18$ на $6$ .

$- 3$