Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 2 {(\frac{5}{2})}^{- x}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = 2 {(\frac{5}{2})}^{- (x + h)}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 2 {(\frac{5}{2})}^{- x - h}$

Этап 2.1.2.2

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$f (x + h) = 2 (\frac{5^{- x - h}}{2^{- x - h}})$

Этап 2.1.2.3

Объединим $2$ и $\frac{5^{- x - h}}{2^{- x - h}}$ .

$f (x + h) = \frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}}$

Этап 2.1.2.4

Окончательный ответ: $\frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}}$ .

$\frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}}$

$f (x) = \frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}}$

$f (x + h) = \frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}}$

$f (x) = \frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}} - (\frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}})}{h}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы записать $\frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2^{- x}}{2^{- x}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}} \cdot \frac{2^{- x}}{2^{- x}} - \frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}}}{h}$

Этап 4.2

Чтобы записать $- \frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2^{- h - x}}{2^{- h - x}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}} \cdot \frac{2^{- x}}{2^{- x}} - \frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}} \cdot \frac{2^{- h - x}}{2^{- h - x}}}{h}$

Этап 4.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $2^{- x - h} \cdot 2^{- x}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $\frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}}$ на $\frac{2^{- x}}{2^{- x}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x}}{2^{- x - h} \cdot 2^{- x}} - \frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}} \cdot \frac{2^{- h - x}}{2^{- h - x}}}{h}$

Этап 4.3.2

Умножим $2^{- x - h}$ на $2^{- x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x}}{2^{- x - h - x}} - \frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}} \cdot \frac{2^{- h - x}}{2^{- h - x}}}{h}$

Этап 4.3.2.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x}}{2^{- 2 x - h}} - \frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}} \cdot \frac{2^{- h - x}}{2^{- h - x}}}{h}$

Этап 4.3.3

Умножим $\frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}}$ на $\frac{2^{- h - x}}{2^{- h - x}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x}}{2^{- 2 x - h}} - \frac{2 \cdot 5^{- x} \cdot 2^{- h - x}}{2^{- x} \cdot 2^{- h - x}}}{h}$

Этап 4.3.4

Умножим $2^{- x}$ на $2^{- h - x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x}}{2^{- 2 x - h}} - \frac{2 \cdot 5^{- x} \cdot 2^{- h - x}}{2^{- x - h - x}}}{h}$

Этап 4.3.4.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x}}{2^{- 2 x - h}} - \frac{2 \cdot 5^{- x} \cdot 2^{- h - x}}{2^{- 2 x - h}}}{h}$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x} - 2 \cdot 5^{- x} \cdot 2^{- h - x}}{2^{- 2 x - h}}}{h}$

Этап 4.5

Перепишем $\frac{2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x} - 2 \cdot 5^{- x} \cdot 2^{- h - x}}{2^{- 2 x - h}}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x} - 2 \cdot 5^{- x} \cdot 2^{- h - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x}$ .

$\frac{\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x}) - 2 \cdot 5^{- x} \cdot 2^{- h - x}}{2^{- 2 x - h}}}{h}$

Этап 4.5.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \cdot 5^{- x} \cdot 2^{- h - x}$ .

$\frac{\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x}) + 2 (- 5^{- x} \cdot 2^{- h - x})}{2^{- 2 x - h}}}{h}$

Этап 4.5.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x}) + 2 (- 5^{- x} \cdot 2^{- h - x})$ .

$\frac{\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x})}{2^{- 2 x - h}}}{h}$

Этап 4.5.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Сократим выражение $\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x})}{2^{- 2 x - h}}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Вынесем множитель $2^{- 2 x - h}$ из $2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x})$ .

$\frac{\frac{2^{- 2 x - h} (2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x - (- 2 x - h)} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)}))}{2^{- 2 x - h}}}{h}$

Этап 4.5.2.1.2

Умножим на $1$ .

$\frac{\frac{2^{- 2 x - h} (2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x - (- 2 x - h)} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)}))}{2^{- 2 x - h} \cdot 1}}{h}$

Этап 4.5.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{2^{- 2 x - h} (2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x - (- 2 x - h)} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)}))}{2^{- 2 x - h} \cdot 1}}{h}$

Этап 4.5.2.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x - (- 2 x - h)} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)})}{1}}{h}$

Этап 4.5.2.2

Разделим $2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x - (- 2 x - h)} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)})$ на $1$ .

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x - (- 2 x - h)} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)})}{h}$

Этап 4.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x - (- 2 x) - - h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)})}{h}$

Этап 4.6.1.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x + 2 x - - h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)})}{h}$

Этап 4.6.1.3

Умножим $- - h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x + 2 x + 1 h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)})}{h}$

Этап 4.6.1.3.2

Умножим $h$ на $1$ .

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x + 2 x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)})}{h}$

Этап 4.6.2

Добавим $- x$ и $2 x$ .

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)})}{h}$

Этап 4.6.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x) - - h})}{h}$

Этап 4.6.3.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x + 2 x - - h})}{h}$

Этап 4.6.3.3

Умножим $- - h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x + 2 x + 1 h})}{h}$

Этап 4.6.3.3.2

Умножим $h$ на $1$ .

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x + 2 x + h})}{h}$

Этап 4.6.4

Объединим противоположные члены в $- h - x + 2 x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.4.1

Добавим $- h$ и $h$ .

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{- x + 2 x + 0})}{h}$

Этап 4.6.4.2

Добавим $- x + 2 x$ и $0$ .

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{- x + 2 x})}{h}$

Этап 4.6.5

Добавим $- x$ и $2 x$ .

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{x})}{h}$

Этап 5