Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x + 1$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 2 {(x + h)}^{2} + x + h + 1$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 2 {(x + h)}^{2} + x + h + 1$

Этап 2.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 {(x + h)}^{2} + x + h + 1$

Этап 2.1.2.2.2

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 ((x + h) (x + h)) + x + h + 1$

Этап 2.1.2.2.3

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x (x + h) + h (x + h)) + x + h + 1$

Этап 2.1.2.2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + x + h + 1$

Этап 2.1.2.2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + x + h + 1$

Этап 2.1.2.2.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + x + h + 1$

Этап 2.1.2.2.4.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + x + h + 1$

Этап 2.1.2.2.4.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.4.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + x + h + 1$

Этап 2.1.2.2.4.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h + 1$

Этап 2.1.2.2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 x^{2} - 2 (2 h x) - 2 h^{2} + x + h + 1$

Этап 2.1.2.2.6

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + x + h + 1$

Этап 2.1.2.3

Окончательный ответ: $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + x + h + 1$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + x + h + 1$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + x + h + 1$

Этап 2.2.2

Перенесем $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + x + h + 1$

Этап 2.2.3

Перенесем $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + h + x + 1$

Этап 2.2.4

Перенесем $- 2 x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 4 h x - 2 h^{2} - 2 x^{2} + h + x + 1$

Этап 2.2.5

Перенесем $- 4 h x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1$

Этап 2.2.6

Перенесем $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1$

Этап 2.2.7

Перенесем $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1$

Этап 2.2.8

Изменим порядок $3 h^{2} x$ и $h^{3}$ .

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1$

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x + 1$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1$

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x + 1$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1 - (x^{3} - 2 x^{2} + x + 1)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - 1 \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1 - x^{3} + 2 x^{2} - x - 1 \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1 - x^{3} + 2 x^{2} - x - 1}{h}$

Этап 4.1.3

Вычтем $x^{3}$ из $x^{3}$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1 + 0 + 2 x^{2} - x - 1}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $h^{3}$ и $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1 + 2 x^{2} - x - 1}{h}$

Этап 4.1.5

Добавим $- 2 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h + x + 1 + 0 - x - 1}{h}$

Этап 4.1.6

Добавим $h^{3}$ и $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h + x + 1 - x - 1}{h}$

Этап 4.1.7

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h + 0 + 1 - 1}{h}$

Этап 4.1.8

Добавим $h^{3}$ и $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h + 1 - 1}{h}$

Этап 4.1.9

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h + 0}{h}$

Этап 4.1.10

Добавим $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h$ и $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h}{h}$

Этап 4.1.11

Вынесем множитель $h$ из $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.11.1

Вынесем множитель $h$ из $h^{3}$ .

$\frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h}{h}$

Этап 4.1.11.2

Вынесем множитель $h$ из $3 h^{2} x$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h}{h}$

Этап 4.1.11.3

Вынесем множитель $h$ из $3 h x^{2}$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) - 2 h^{2} - 4 h x + h}{h}$

Этап 4.1.11.4

Вынесем множитель $h$ из $- 2 h^{2}$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 2 h) - 4 h x + h}{h}$

Этап 4.1.11.5

Вынесем множитель $h$ из $- 4 h x$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 2 h) + h (- 4 x) + h}{h}$

Этап 4.1.11.6

Возведем $h$ в степень $1$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 2 h) + h (- 4 x) + h^{1}}{h}$

Этап 4.1.11.7

Вынесем множитель $h$ из $h^{1}$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 2 h) + h (- 4 x) + h \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.11.8

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{2}) + h (3 h x)$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 2 h) + h (- 4 x) + h \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.11.9

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- 2 h) + h (- 4 x) + h \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.11.10

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- 2 h)$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 2 h) + h (- 4 x) + h \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.11.11

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 2 h) + h (- 4 x)$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 2 h - 4 x) + h \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.11.12

Вынесем множитель $h$ из $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 2 h - 4 x) + h \cdot 1$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 2 h - 4 x + 1)}{h}$

Этап 4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 2 h - 4 x + 1)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 2 h - 4 x + 1$ на $1$ .

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 2 h - 4 x + 1$

Этап 4.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перенесем $h$ .

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} - 2 h - 4 x + 1$

Этап 4.2.2.2

Перенесем $- 2 h$ .

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} - 4 x - 2 h + 1$

Этап 4.2.2.3

Перенесем $h^{2}$ .

$3 x h + 3 x^{2} + h^{2} - 4 x - 2 h + 1$

Этап 4.2.2.4

Изменим порядок $3 x h$ и $3 x^{2}$ .

$3 x^{2} + 3 x h + h^{2} - 4 x - 2 h + 1$

Этап 5