Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - \frac{2}{x^{2}}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = - \frac{2}{{(x + h)}^{2}}$

Этап 2.1.2

Окончательный ответ: $- \frac{2}{{(x + h)}^{2}}$ .

$- \frac{2}{{(x + h)}^{2}}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = - \frac{2}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = - \frac{2}{x^{2}}$

$f (x + h) = - \frac{2}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = - \frac{2}{x^{2}}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \frac{2}{{(x + h)}^{2}} - (- \frac{2}{x^{2}})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{2}{{(x + h)}^{2}} - - \frac{2}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Перенесем круглые скобки.

$\frac{- \frac{2}{{(x + h)}^{2}} - - 1 \frac{2}{x^{2}}}{h}$

Этап 4.1.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{2}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{- \frac{2}{{(x + h)}^{2}} - - 1 \frac{2}{x^{2}}}{h}$

Этап 4.1.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- - 1 \frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{- \frac{2}{{(x + h)}^{2}} - - \frac{2}{x^{2}}}{h}$

Этап 4.1.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{2}{{(x + h)}^{2}} - - \frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{- (\frac{2}{{(x + h)}^{2}} - \frac{2}{x^{2}})}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $\frac{2}{{(x + h)}^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{- (\frac{2}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}})}{h}$

Этап 4.1.3

Чтобы записать $- \frac{2}{x^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{- (\frac{2}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}})}{h}$

Этап 4.1.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем ${(x + h)}^{2} x^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Умножим $\frac{2}{{(x + h)}^{2}}$ на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{- (\frac{2 x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}})}{h}$

Этап 4.1.4.2

Умножим $\frac{2}{x^{2}}$ на $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{- (\frac{2 x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{2 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}})}{h}$

Этап 4.1.4.3

Изменим порядок множителей в ${(x + h)}^{2} x^{2}$ .

$\frac{- (\frac{2 x^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}} - \frac{2 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}})}{h}$

Этап 4.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \frac{2 x^{2} - 2 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 4.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} - 2 {(x + h)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{- \frac{2 (x^{2}) - 2 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 4.1.6.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 {(x + h)}^{2}$ .

$\frac{- \frac{2 (x^{2}) + 2 (- {(x + h)}^{2})}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 4.1.6.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2}) + 2 (- {(x + h)}^{2})$ .

$\frac{- \frac{2 (x^{2} - {(x + h)}^{2})}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 4.1.6.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = x + h$ .

$\frac{- \frac{2 ((x + x + h) (x - (x + h)))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 4.1.6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.3.1

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{- \frac{2 ((2 x + h) (x - (x + h)))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 4.1.6.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- \frac{2 ((2 x + h) (x - x - h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 4.1.6.3.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{- \frac{2 ((2 x + h) (0 - h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 4.1.6.3.4

Вычтем $h$ из $0$ .

$\frac{- \frac{2 ((2 x + h) \cdot - 1 h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 4.1.6.3.5

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{- \frac{2 (- ((2 x + h) h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

$\frac{- \frac{2 \cdot - 1 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 4.1.6.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.4.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{- \frac{- (2 (2 x + h) h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 4.1.6.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{- 2 ((2 x + h) h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

$\frac{- \frac{- 2 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 4.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- - 1 \frac{2 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 4.1.8

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{- - \frac{2 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 4.1.8.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1 \frac{2 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 4.1.8.3

Умножим $\frac{2 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ на $1$ .

$\frac{\frac{2 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{2 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Объединим.

$\frac{2 (2 x + h) h \cdot 1}{x^{2} {(x + h)}^{2} h}$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 x + h) h \cdot 1}{x^{2} {(x + h)}^{2} h}$

Этап 4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (2 x + h) \cdot 1}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Этап 4.5

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Этап 5