Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 2 x^{2} + x + 5$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{2} + x + h + 5$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{2} + x + h + 5$

Этап 2.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 2 ((x + h) (x + h)) + x + h + 5$

Этап 2.1.2.2.2

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 2 (x (x + h) + h (x + h)) + x + h + 5$

Этап 2.1.2.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + x + h + 5$

Этап 2.1.2.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + x + h + 5$

Этап 2.1.2.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + x + h + 5$

Этап 2.1.2.2.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + x + h + 5$

Этап 2.1.2.2.3.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + x + h + 5$

Этап 2.1.2.2.3.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h + 5$

Этап 2.1.2.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} + x + h + 5$

Этап 2.1.2.2.5

Умножим $2$ на $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h + 5$

Этап 2.1.2.3

Окончательный ответ: $2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h + 5$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h + 5$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $x$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + h + x + 5$

Этап 2.2.2

Перенесем $2 x^{2}$ .

$4 h x + 2 h^{2} + 2 x^{2} + h + x + 5$

Этап 2.2.3

Изменим порядок $4 h x$ и $2 h^{2}$ .

$2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5$

$f (x) = 2 x^{2} + x + 5$

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5$

$f (x) = 2 x^{2} + x + 5$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5 - (2 x^{2} + x + 5)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5 - (2 x^{2}) - x - 1 \cdot 5}{h}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5 - 2 x^{2} - x - 1 \cdot 5}{h}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5 - 2 x^{2} - x - 5}{h}$

Этап 4.1.3

Вычтем $2 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + h + x + 5 + 0 - x - 5}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $2 h^{2}$ и $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + h + x + 5 - x - 5}{h}$

Этап 4.1.5

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + h + 0 + 5 - 5}{h}$

Этап 4.1.6

Добавим $2 h^{2}$ и $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + h + 5 - 5}{h}$

Этап 4.1.7

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + h + 0}{h}$

Этап 4.1.8

Добавим $2 h^{2} + 4 h x + h$ и $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + h}{h}$

Этап 4.1.9

Вынесем множитель $h$ из $2 h^{2} + 4 h x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.1

Вынесем множитель $h$ из $2 h^{2}$ .

$\frac{h (2 h) + 4 h x + h}{h}$

Этап 4.1.9.2

Вынесем множитель $h$ из $4 h x$ .

$\frac{h (2 h) + h (4 x) + h}{h}$

Этап 4.1.9.3

Возведем $h$ в степень $1$ .

$\frac{h (2 h) + h (4 x) + h^{1}}{h}$

Этап 4.1.9.4

Вынесем множитель $h$ из $h^{1}$ .

$\frac{h (2 h) + h (4 x) + h \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.9.5

Вынесем множитель $h$ из $h (2 h) + h (4 x)$ .

$\frac{h (2 h + 4 x) + h \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.9.6

Вынесем множитель $h$ из $h (2 h + 4 x) + h \cdot 1$ .

$\frac{h (2 h + 4 x + 1)}{h}$

Этап 4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (2 h + 4 x + 1)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $2 h + 4 x + 1$ на $1$ .

$2 h + 4 x + 1$

Этап 4.2.2

Изменим порядок $2 h$ и $4 x$ .

$4 x + 2 h + 1$

Этап 5