Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 1$ ; $[8, 14]$

Этап 1

Запишем $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 1$ в виде уравнения.

$y = - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 1$

Этап 2

Подставим, используя формулу средней скорости изменения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Среднюю скорость изменения функции можно найти, вычислив разность значений $y$ в двух точках и поделив на разность значений $x$ этих двух точек.

$\frac{f (14) - f (8)}{(14) - (8)}$

Этап 2.2

Подставим уравнение $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 1$ в $f (14)$ и $f (8)$ , заменив $x$ в функции соответствующим значением $x$ .

$\frac{(- \frac{1}{2} \cdot {(14)}^{2} + 3 (14) + 1) - (- \frac{1}{2} \cdot {(8)}^{2} + 3 (8) + 1)}{(14) - (8)}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $14$ в степень $2$ .

$\frac{- \frac{1}{2} \cdot 196 + 3 (14) + 1 - (- \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$\frac{\frac{- 1}{2} \cdot 196 + 3 (14) + 1 - (- \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

Этап 3.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $196$ .

$\frac{\frac{- 1}{2} \cdot (2 (98)) + 3 (14) + 1 - (- \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

Этап 3.1.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 98) + 3 (14) + 1 - (- \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

Этап 3.1.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 \cdot 98 + 3 (14) + 1 - (- \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

Этап 3.1.3

Умножим $- 1$ на $98$ .

$\frac{- 98 + 3 (14) + 1 - (- \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

Этап 3.1.4

Умножим $3$ на $14$ .

$\frac{- 98 + 42 + 1 - (- \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

Этап 3.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{- 98 + 42 + 1 - (- \frac{1}{2} \cdot 64 + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

Этап 3.1.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$\frac{- 98 + 42 + 1 - (\frac{- 1}{2} \cdot 64 + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

Этап 3.1.5.2.2

Вынесем множитель $2$ из $64$ .

$\frac{- 98 + 42 + 1 - (\frac{- 1}{2} \cdot (2 (32)) + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

Этап 3.1.5.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 98 + 42 + 1 - (\frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 32) + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

Этап 3.1.5.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 98 + 42 + 1 - (- 1 \cdot 32 + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

Этап 3.1.5.3

Умножим $- 1$ на $32$ .

$\frac{- 98 + 42 + 1 - (- 32 + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

Этап 3.1.5.4

Умножим $3$ на $8$ .

$\frac{- 98 + 42 + 1 - (- 32 + 24 + 1)}{14 - (8)}$

Этап 3.1.6

Добавим $- 32$ и $24$ .

$\frac{- 98 + 42 + 1 - (- 8 + 1)}{14 - (8)}$

Этап 3.1.7

Добавим $- 8$ и $1$ .

$\frac{- 98 + 42 + 1 - - 7}{14 - (8)}$

Этап 3.1.8

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$\frac{- 98 + 42 + 1 + 7}{14 - (8)}$

Этап 3.1.9

Добавим $- 98$ и $42$ .

$\frac{- 56 + 1 + 7}{14 - (8)}$

Этап 3.1.10

Добавим $- 56$ и $1$ .

$\frac{- 55 + 7}{14 - (8)}$

Этап 3.1.11

Добавим $- 55$ и $7$ .

$\frac{- 48}{14 - (8)}$

Этап 3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{- 48}{14 - 8}$

Этап 3.2.2

Вычтем $8$ из $14$ .

$\frac{- 48}{6}$

Этап 3.3

Разделим $- 48$ на $6$ .

$- 8$