Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{2 x^{2} - 5}{x + 1}$ ; $[- 8, - 4]$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{2 x^{2} - 5}{x + 1}$ в виде уравнения.

$y = \frac{2 x^{2} - 5}{x + 1}$

Этап 2

Подставим, используя формулу средней скорости изменения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Среднюю скорость изменения функции можно найти, вычислив разность значений $y$ в двух точках и поделив на разность значений $x$ этих двух точек.

$\frac{f (- 4) - f (- 8)}{(- 4) - (- 8)}$

Этап 2.2

Подставим уравнение $y = \frac{2 x^{2} - 5}{x + 1}$ в $f (- 4)$ и $f (- 8)$ , заменив $x$ в функции соответствующим значением $x$ .

$\frac{(\frac{2 {(- 4)}^{2} - 5}{(- 4) + 1}) - (\frac{2 {(- 8)}^{2} - 5}{(- 8) + 1})}{(- 4) - (- 8)}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим числитель и знаменатель дроби на $(- 4 + 1) (- 8 + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{\frac{2 {(- 4)}^{2} - 5}{- 4 + 1} - \frac{2 {(- 8)}^{2} - 5}{- 8 + 1}}{- 4 - (- 8)}$ на $\frac{(- 4 + 1) (- 8 + 1)}{(- 4 + 1) (- 8 + 1)}$ .

$\frac{(- 4 + 1) (- 8 + 1)}{(- 4 + 1) (- 8 + 1)} \cdot \frac{\frac{2 {(- 4)}^{2} - 5}{- 4 + 1} - \frac{2 {(- 8)}^{2} - 5}{- 8 + 1}}{- 4 - (- 8)}$

Этап 3.1.2

Объединим.

$\frac{(- 4 + 1) (- 8 + 1) (\frac{2 {(- 4)}^{2} - 5}{- 4 + 1} - \frac{2 {(- 8)}^{2} - 5}{- 8 + 1})}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) (- 4 - (- 8))}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \frac{2 {(- 4)}^{2} - 5}{- 4 + 1} + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- \frac{2 {(- 8)}^{2} - 5}{- 8 + 1})}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Этап 3.3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $- 4 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \frac{2 {(- 4)}^{2} - 5}{- 4 + 1} + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- \frac{2 {(- 8)}^{2} - 5}{- 8 + 1})}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(- 8 + 1) (2 {(- 4)}^{2} - 5) + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- \frac{2 {(- 8)}^{2} - 5}{- 8 + 1})}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $- 8 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 {(- 8)}^{2} - 5}{- 8 + 1}$ в числитель.

$\frac{(- 8 + 1) (2 {(- 4)}^{2} - 5) + (- 4 + 1) (- 8 + 1) \frac{- (2 {(- 8)}^{2} - 5)}{- 8 + 1}}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Этап 3.3.2.2

Вынесем множитель $- 8 + 1$ из $(- 4 + 1) (- 8 + 1)$ .

$\frac{(- 8 + 1) (2 {(- 4)}^{2} - 5) + (- 8 + 1) (- 4 + 1) \frac{- (2 {(- 8)}^{2} - 5)}{- 8 + 1}}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Этап 3.3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{(- 8 + 1) (2 {(- 4)}^{2} - 5) + (- 8 + 1) (- 4 + 1) \frac{- (2 {(- 8)}^{2} - 5)}{- 8 + 1}}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Этап 3.3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{(- 8 + 1) (2 {(- 4)}^{2} - 5) + (- 4 + 1) (- (2 {(- 8)}^{2} - 5))}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $- 8$ и $1$ .

$\frac{- 7 (2 {(- 4)}^{2} - 5) + (- 4 + 1) (- (2 {(- 8)}^{2} - 5))}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Этап 3.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$\frac{- 7 (2 \cdot 16 - 5) + (- 4 + 1) (- (2 {(- 8)}^{2} - 5))}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Этап 3.4.2.2

Умножим $2$ на $16$ .

$\frac{- 7 (32 - 5) + (- 4 + 1) (- (2 {(- 8)}^{2} - 5))}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Этап 3.4.3

Вычтем $5$ из $32$ .

$\frac{- 7 \cdot 27 + (- 4 + 1) (- (2 {(- 8)}^{2} - 5))}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Этап 3.4.4

Умножим $- 7$ на $27$ .

$\frac{- 189 + (- 4 + 1) (- (2 {(- 8)}^{2} - 5))}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Этап 3.4.5

Добавим $- 4$ и $1$ .

$\frac{- 189 - 3 (- (2 {(- 8)}^{2} - 5))}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Этап 3.4.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$\frac{- 189 - 3 (- (2 \cdot 64 - 5))}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Этап 3.4.6.2

Умножим $2$ на $64$ .

$\frac{- 189 - 3 (- (128 - 5))}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Этап 3.4.7

Вычтем $5$ из $128$ .

$\frac{- 189 - 3 (- 1 \cdot 123)}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Этап 3.4.8

Умножим $- 3 (- 1 \cdot 123)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.1

Умножим $- 1$ на $123$ .

$\frac{- 189 - 3 \cdot - 123}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Этап 3.4.8.2

Умножим $- 3$ на $- 123$ .

$\frac{- 189 + 369}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Этап 3.4.9

Добавим $- 189$ и $369$ .

$\frac{180}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Этап 3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Добавим $- 4$ и $1$ .

$\frac{180}{- 3 (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Этап 3.5.2

Добавим $- 8$ и $1$ .

$\frac{180}{- 3 \cdot - 7 \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Этап 3.5.3

Умножим $- 3 \cdot - 7 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Умножим $- 3$ на $- 7$ .

$\frac{180}{21 \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Этап 3.5.3.2

Умножим $21$ на $- 4$ .

$\frac{180}{- 84 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Этап 3.5.4

Добавим $- 4$ и $1$ .

$\frac{180}{- 84 - 3 (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Этап 3.5.5

Добавим $- 8$ и $1$ .

$\frac{180}{- 84 - 3 \cdot - 7 (- (- 8))}$

Этап 3.5.6

Умножим $- 3 \cdot - 7 (- (- 8))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1

Умножим $- 3$ на $- 7$ .

$\frac{180}{- 84 + 21 (- (- 8))}$

Этап 3.5.6.2

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$\frac{180}{- 84 + 21 \cdot 8}$

Этап 3.5.6.3

Умножим $21$ на $8$ .

$\frac{180}{- 84 + 168}$

Этап 3.5.7

Добавим $- 84$ и $168$ .

$\frac{180}{84}$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $180$ и $84$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $12$ из $180$ .

$\frac{12 (15)}{84}$

Этап 3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Вынесем множитель $12$ из $84$ .

$\frac{12 \cdot 15}{12 \cdot 7}$

Этап 3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{12 \cdot 15}{12 \cdot 7}$

Этап 3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{15}{7}$