Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - 3 x^{3} - x^{2} + 3 x$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = - 3 {(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (x + h) = - 3 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) - {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - 3 x^{3} - 3 (3 x^{2} h) - 3 (3 x h^{2}) - 3 h^{3} - {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1

Умножим $3$ на $- 3$ .

$f (x + h) = - 3 x^{3} - 9 (x^{2} h) - 3 (3 x h^{2}) - 3 h^{3} - {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.3.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$f (x + h) = - 3 x^{3} - 9 (x^{2} h) - 9 (x h^{2}) - 3 h^{3} - {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.4

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = - 3 x^{3} - 9 x^{2} h - 9 x h^{2} - 3 h^{3} - {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.5

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = - 3 x^{3} - 9 x^{2} h - 9 x h^{2} - 3 h^{3} - ((x + h) (x + h)) + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.6

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - 3 x^{3} - 9 x^{2} h - 9 x h^{2} - 3 h^{3} - (x (x + h) + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - 3 x^{3} - 9 x^{2} h - 9 x h^{2} - 3 h^{3} - (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - 3 x^{3} - 9 x^{2} h - 9 x h^{2} - 3 h^{3} - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.7.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = - 3 x^{3} - 9 x^{2} h - 9 x h^{2} - 3 h^{3} - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.7.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = - 3 x^{3} - 9 x^{2} h - 9 x h^{2} - 3 h^{3} - (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.7.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.7.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = - 3 x^{3} - 9 x^{2} h - 9 x h^{2} - 3 h^{3} - (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.7.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = - 3 x^{3} - 9 x^{2} h - 9 x h^{2} - 3 h^{3} - (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - 3 x^{3} - 9 x^{2} h - 9 x h^{2} - 3 h^{3} - x^{2} - (2 h x) - h^{2} + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.9

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (x + h) = - 3 x^{3} - 9 x^{2} h - 9 x h^{2} - 3 h^{3} - x^{2} - 2 (h x) - h^{2} + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.10

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - 3 x^{3} - 9 x^{2} h - 9 x h^{2} - 3 h^{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} + 3 x + 3 h$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $- 3 x^{3} - 9 x^{2} h - 9 x h^{2} - 3 h^{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} + 3 x + 3 h$ .

$- 3 x^{3} - 9 x^{2} h - 9 x h^{2} - 3 h^{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} + 3 x + 3 h$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- 3 x^{3} - 9 h x^{2} - 9 x h^{2} - 3 h^{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} + 3 x + 3 h$

Этап 2.2.2

Перенесем $x$ .

$- 3 x^{3} - 9 h x^{2} - 9 h^{2} x - 3 h^{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} + 3 x + 3 h$

Этап 2.2.3

Перенесем $3 x$ .

$- 3 x^{3} - 9 h x^{2} - 9 h^{2} x - 3 h^{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} + 3 h + 3 x$

Этап 2.2.4

Перенесем $- x^{2}$ .

$- 3 x^{3} - 9 h x^{2} - 9 h^{2} x - 3 h^{3} - 2 h x - h^{2} - x^{2} + 3 h + 3 x$

Этап 2.2.5

Перенесем $- 2 h x$ .

$- 3 x^{3} - 9 h x^{2} - 9 h^{2} x - 3 h^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x$

Этап 2.2.6

Перенесем $- 3 x^{3}$ .

$- 9 h x^{2} - 9 h^{2} x - 3 h^{3} - 3 x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x$

Этап 2.2.7

Перенесем $- 9 h x^{2}$ .

$- 9 h^{2} x - 3 h^{3} - 9 h x^{2} - 3 x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x$

Этап 2.2.8

Изменим порядок $- 9 h^{2} x$ и $- 3 h^{3}$ .

$- 3 h^{3} - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - 3 x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = - 3 h^{3} - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - 3 x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = - 3 x^{3} - x^{2} + 3 x$

$f (x + h) = - 3 h^{3} - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - 3 x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = - 3 x^{3} - x^{2} + 3 x$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- 3 h^{3} - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - 3 x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x - (- 3 x^{3} - x^{2} + 3 x)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 3 h^{3} - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - 3 x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x - (- 3 x^{3}) - - x^{2} - (3 x)}{h}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\frac{- 3 h^{3} - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - 3 x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x + 3 x^{3} - - x^{2} - (3 x)}{h}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 3 h^{3} - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - 3 x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x + 3 x^{3} + 1 x^{2} - (3 x)}{h}$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{- 3 h^{3} - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - 3 x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x + 3 x^{3} + x^{2} - (3 x)}{h}$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{- 3 h^{3} - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - 3 x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x + 3 x^{3} + x^{2} - 3 x}{h}$

Этап 4.1.3

Добавим $- 3 x^{3}$ и $3 x^{3}$ .

$\frac{- 3 h^{3} - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x + 0 + x^{2} - 3 x}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $- 3 h^{3}$ и $0$ .

$\frac{- 3 h^{3} - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 3 h + 3 x + x^{2} - 3 x}{h}$

Этап 4.1.5

Добавим $- x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{- 3 h^{3} - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - h^{2} - 2 h x + 3 h + 3 x + 0 - 3 x}{h}$

Этап 4.1.6

Добавим $- 3 h^{3}$ и $0$ .

$\frac{- 3 h^{3} - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - h^{2} - 2 h x + 3 h + 3 x - 3 x}{h}$

Этап 4.1.7

Вычтем $3 x$ из $3 x$ .

$\frac{- 3 h^{3} - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - h^{2} - 2 h x + 3 h + 0}{h}$

Этап 4.1.8

Добавим $- 3 h^{3} - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - h^{2} - 2 h x + 3 h$ и $0$ .

$\frac{- 3 h^{3} - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - h^{2} - 2 h x + 3 h}{h}$

Этап 4.1.9

Вынесем множитель $h$ из $- 3 h^{3} - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - h^{2} - 2 h x + 3 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.1

Вынесем множитель $h$ из $- 3 h^{3}$ .

$\frac{h (- 3 h^{2}) - 9 h^{2} x - 9 h x^{2} - h^{2} - 2 h x + 3 h}{h}$

Этап 4.1.9.2

Вынесем множитель $h$ из $- 9 h^{2} x$ .

$\frac{h (- 3 h^{2}) + h (- 9 h x) - 9 h x^{2} - h^{2} - 2 h x + 3 h}{h}$

Этап 4.1.9.3

Вынесем множитель $h$ из $- 9 h x^{2}$ .

$\frac{h (- 3 h^{2}) + h (- 9 h x) + h (- 9 x^{2}) - h^{2} - 2 h x + 3 h}{h}$

Этап 4.1.9.4

Вынесем множитель $h$ из $- h^{2}$ .

$\frac{h (- 3 h^{2}) + h (- 9 h x) + h (- 9 x^{2}) + h (- h) - 2 h x + 3 h}{h}$

Этап 4.1.9.5

Вынесем множитель $h$ из $- 2 h x$ .

$\frac{h (- 3 h^{2}) + h (- 9 h x) + h (- 9 x^{2}) + h (- h) + h (- 2 x) + 3 h}{h}$

Этап 4.1.9.6

Вынесем множитель $h$ из $3 h$ .

$\frac{h (- 3 h^{2}) + h (- 9 h x) + h (- 9 x^{2}) + h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot 3}{h}$

Этап 4.1.9.7

Вынесем множитель $h$ из $h (- 3 h^{2}) + h (- 9 h x)$ .

$\frac{h (- 3 h^{2} - 9 h x) + h (- 9 x^{2}) + h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot 3}{h}$

Этап 4.1.9.8

Вынесем множитель $h$ из $h (- 3 h^{2} - 9 h x) + h (- 9 x^{2})$ .

$\frac{h (- 3 h^{2} - 9 h x - 9 x^{2}) + h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot 3}{h}$

Этап 4.1.9.9

Вынесем множитель $h$ из $h (- 3 h^{2} - 9 h x - 9 x^{2}) + h (- h)$ .

$\frac{h (- 3 h^{2} - 9 h x - 9 x^{2} - h) + h (- 2 x) + h \cdot 3}{h}$

Этап 4.1.9.10

Вынесем множитель $h$ из $h (- 3 h^{2} - 9 h x - 9 x^{2} - h) + h (- 2 x)$ .

$\frac{h (- 3 h^{2} - 9 h x - 9 x^{2} - h - 2 x) + h \cdot 3}{h}$

Этап 4.1.9.11

Вынесем множитель $h$ из $h (- 3 h^{2} - 9 h x - 9 x^{2} - h - 2 x) + h \cdot 3$ .

$\frac{h (- 3 h^{2} - 9 h x - 9 x^{2} - h - 2 x + 3)}{h}$

Этап 4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (- 3 h^{2} - 9 h x - 9 x^{2} - h - 2 x + 3)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $- 3 h^{2} - 9 h x - 9 x^{2} - h - 2 x + 3$ на $1$ .

$- 3 h^{2} - 9 h x - 9 x^{2} - h - 2 x + 3$

Этап 4.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перенесем $h$ .

$- 3 h^{2} - 9 x h - 9 x^{2} - h - 2 x + 3$

Этап 4.2.2.2

Перенесем $- h$ .

$- 3 h^{2} - 9 x h - 9 x^{2} - 2 x - h + 3$

Этап 4.2.2.3

Перенесем $- 3 h^{2}$ .

$- 9 x h - 9 x^{2} - 3 h^{2} - 2 x - h + 3$

Этап 4.2.2.4

Изменим порядок $- 9 x h$ и $- 9 x^{2}$ .

$- 9 x^{2} - 9 x h - 3 h^{2} - 2 x - h + 3$

Этап 5