Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{K x}{(A + x)}$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{K (x + h)}{A + x + h}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (x + h) = \frac{K (x + h)}{A + x + h}$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $\frac{K (x + h)}{A + x + h}$ .

$\frac{K (x + h)}{A + x + h}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \frac{K (x + h)}{A + x + h}$

$f (x) = \frac{K x}{A + x}$

$f (x + h) = \frac{K (x + h)}{A + x + h}$

$f (x) = \frac{K x}{A + x}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{K (x + h)}{A + x + h} - (\frac{K x}{A + x})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $\frac{K (x + h)}{A + x + h}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{A + x}{A + x}$ .

$\frac{\frac{K (x + h)}{A + x + h} \cdot \frac{A + x}{A + x} - \frac{K x}{A + x}}{h}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- \frac{K x}{A + x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{A + x + h}{A + x + h}$ .

$\frac{\frac{K (x + h)}{A + x + h} \cdot \frac{A + x}{A + x} - \frac{K x}{A + x} \cdot \frac{A + x + h}{A + x + h}}{h}$

Этап 4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(A + x + h) (A + x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $\frac{K (x + h)}{A + x + h}$ на $\frac{A + x}{A + x}$ .

$\frac{\frac{K (x + h) (A + x)}{(A + x + h) (A + x)} - \frac{K x}{A + x} \cdot \frac{A + x + h}{A + x + h}}{h}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\frac{K x}{A + x}$ на $\frac{A + x + h}{A + x + h}$ .

$\frac{\frac{K (x + h) (A + x)}{(A + x + h) (A + x)} - \frac{K x (A + x + h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.3.3

Изменим порядок множителей в $(A + x + h) (A + x)$ .

$\frac{\frac{K (x + h) (A + x)}{(A + x) (A + x + h)} - \frac{K x (A + x + h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{K (x + h) (A + x) - K x (A + x + h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5

Перепишем $\frac{K (x + h) (A + x) - K x (A + x + h)}{(A + x) (A + x + h)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Вынесем множитель $K$ из $K (x + h) (A + x) - K x (A + x + h)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1.1

Вынесем множитель $K$ из $K (x + h) (A + x)$ .

$\frac{\frac{K ((x + h) (A + x)) - K x (A + x + h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.1.2

Вынесем множитель $K$ из $- K x (A + x + h)$ .

$\frac{\frac{K ((x + h) (A + x)) + K (- 1 x (A + x + h))}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.1.3

Вынесем множитель $K$ из $K ((x + h) (A + x)) + K (- 1 x (A + x + h))$ .

$\frac{\frac{K ((x + h) (A + x) - 1 x (A + x + h))}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.2

Развернем $(x + h) (A + x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{K (x (A + x) + h (A + x) - 1 x (A + x + h))}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{K (x A + x \cdot x + h (A + x) - 1 x (A + x + h))}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{K (x A + x \cdot x + h A + h x - 1 x (A + x + h))}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.3

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\frac{K (x A + x^{2} + h A + h x - 1 x (A + x + h))}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{\frac{K (x A + x^{2} + h A + h x - x (A + x + h))}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{K (x A + x^{2} + h A + h x - x A - x \cdot x - x h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.6.1

Перенесем $x$ .

$\frac{\frac{K (x A + x^{2} + h A + h x - x A - (x \cdot x) - x h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\frac{K (x A + x^{2} + h A + h x - x A - x^{2} - x h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.7

Вычтем $x A$ из $x A$ .

$\frac{\frac{K (x^{2} + h A + h x + 0 - x^{2} - x h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.8

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$\frac{\frac{K (x^{2} + h A + h x - x^{2} - x h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.9

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{\frac{K (h A + h x + 0 - x h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.10

Добавим $h A$ и $0$ .

$\frac{\frac{K (h A + h x - x h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.11

Вычтем $x h$ из $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.11.1

Изменим порядок $h$ и $x$ .

$\frac{\frac{K (h A + x h - x h)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.11.2

Вычтем $x h$ из $x h$ .

$\frac{\frac{K (h A + 0)}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Этап 4.1.5.12

Добавим $h A$ и $0$ .

$\frac{\frac{K h A}{(A + x) (A + x + h)}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{K h A}{(A + x) (A + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $h$ из $K h A$ .

$\frac{h (K A)}{(A + x) (A + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{h (K A)}{(A + x) (A + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{K A}{(A + x) (A + x + h)}$

Этап 5