Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - x^{3}$ ; $[- 2, 2]$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - x^{3}$ в виде уравнения.

$y = \frac{1}{4} x^{4} - x^{3}$

Этап 2

Подставим, используя формулу средней скорости изменения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Среднюю скорость изменения функции можно найти, вычислив разность значений $y$ в двух точках и поделив на разность значений $x$ этих двух точек.

$\frac{f (2) - f (- 2)}{(2) - (- 2)}$

Этап 2.2

Подставим уравнение $y = \frac{1}{4} x^{4} - x^{3}$ в $f (2)$ и $f (- 2)$ , заменив $x$ в функции соответствующим значением $x$ .

$\frac{(\frac{1}{4} \cdot {(2)}^{4} - {(2)}^{3}) - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} - {(- 2)}^{3})}{(2) - (- 2)}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot 16 - 2^{3} - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} - {(- 2)}^{3})}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot (4 (4)) - 2^{3} - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} - {(- 2)}^{3})}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 4) - 2^{3} - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} - {(- 2)}^{3})}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 - 2^{3} - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} - {(- 2)}^{3})}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 8 - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} - {(- 2)}^{3})}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.4

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{4 - 8 - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} - {(- 2)}^{3})}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$\frac{4 - 8 - (\frac{1}{4} \cdot 16 - {(- 2)}^{3})}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.5.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{4 - 8 - (\frac{1}{4} \cdot (4 (4)) - {(- 2)}^{3})}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 - 8 - (\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 4) - {(- 2)}^{3})}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 - 8 - (4 - {(- 2)}^{3})}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.5.3

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$\frac{4 - 8 - (4 - - 8)}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.5.4

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$\frac{4 - 8 - (4 + 8)}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.6

Добавим $4$ и $8$ .

$\frac{4 - 8 - 1 \cdot 12}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.7

Умножим $- 1$ на $12$ .

$\frac{4 - 8 - 12}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.8

Вычтем $8$ из $4$ .

$\frac{- 4 - 12}{2 - (- 2)}$

Этап 3.1.9

Вычтем $12$ из $- 4$ .

$\frac{- 16}{2 - (- 2)}$

Этап 3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 16}{2 + 2}$

Этап 3.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{- 16}{4}$

Этап 3.3

Разделим $- 16$ на $4$ .

$- 4$