Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - 4 x^{2} + 3 x$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = - 4 {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = - 4 ((x + h) (x + h)) + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.2

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - 4 (x (x + h) + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - 4 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - 4 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = - 4 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = - 4 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.3.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = - 4 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.3.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = - 4 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - 4 x^{2} - 4 (2 h x) - 4 h^{2} + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.5

Умножим $2$ на $- 4$ .

$f (x + h) = - 4 x^{2} - 8 (h x) - 4 h^{2} + 3 (x + h)$

Этап 2.1.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - 4 x^{2} - 8 h x - 4 h^{2} + 3 x + 3 h$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $- 4 x^{2} - 8 h x - 4 h^{2} + 3 x + 3 h$ .

$- 4 x^{2} - 8 h x - 4 h^{2} + 3 x + 3 h$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $3 x$ .

$- 4 x^{2} - 8 h x - 4 h^{2} + 3 h + 3 x$

Этап 2.2.2

Перенесем $- 4 x^{2}$ .

$- 8 h x - 4 h^{2} - 4 x^{2} + 3 h + 3 x$

Этап 2.2.3

Изменим порядок $- 8 h x$ и $- 4 h^{2}$ .

$- 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2} + 3 h + 3 x$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = - 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = - 4 x^{2} + 3 x$

$f (x + h) = - 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = - 4 x^{2} + 3 x$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2} + 3 h + 3 x - (- 4 x^{2} + 3 x)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2} + 3 h + 3 x - (- 4 x^{2}) - (3 x)}{h}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{- 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2} + 3 h + 3 x + 4 x^{2} - (3 x)}{h}$

Этап 4.1.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{- 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2} + 3 h + 3 x + 4 x^{2} - 3 x}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $- 4 x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$\frac{- 4 h^{2} - 8 h x + 3 h + 3 x + 0 - 3 x}{h}$

Этап 4.1.5

Добавим $- 4 h^{2}$ и $0$ .

$\frac{- 4 h^{2} - 8 h x + 3 h + 3 x - 3 x}{h}$

Этап 4.1.6

Вычтем $3 x$ из $3 x$ .

$\frac{- 4 h^{2} - 8 h x + 3 h + 0}{h}$

Этап 4.1.7

Добавим $- 4 h^{2} - 8 h x + 3 h$ и $0$ .

$\frac{- 4 h^{2} - 8 h x + 3 h}{h}$

Этап 4.1.8

Вынесем множитель $h$ из $- 4 h^{2} - 8 h x + 3 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Вынесем множитель $h$ из $- 4 h^{2}$ .

$\frac{h (- 4 h) - 8 h x + 3 h}{h}$

Этап 4.1.8.2

Вынесем множитель $h$ из $- 8 h x$ .

$\frac{h (- 4 h) + h (- 8 x) + 3 h}{h}$

Этап 4.1.8.3

Вынесем множитель $h$ из $3 h$ .

$\frac{h (- 4 h) + h (- 8 x) + h \cdot 3}{h}$

Этап 4.1.8.4

Вынесем множитель $h$ из $h (- 4 h) + h (- 8 x)$ .

$\frac{h (- 4 h - 8 x) + h \cdot 3}{h}$

Этап 4.1.8.5

Вынесем множитель $h$ из $h (- 4 h - 8 x) + h \cdot 3$ .

$\frac{h (- 4 h - 8 x + 3)}{h}$

Этап 4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (- 4 h - 8 x + 3)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $- 4 h - 8 x + 3$ на $1$ .

$- 4 h - 8 x + 3$

Этап 4.2.2

Изменим порядок $- 4 h$ и $- 8 x$ .

$- 8 x - 4 h + 3$

Этап 5