Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 4}$ ; $[- 3, 8]$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 4}$ в виде уравнения.

$y = \frac{2 x - 1}{x + 4}$

Этап 2

Подставим, используя формулу средней скорости изменения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Среднюю скорость изменения функции можно найти, вычислив разность значений $y$ в двух точках и поделив на разность значений $x$ этих двух точек.

$\frac{f (8) - f (- 3)}{(8) - (- 3)}$

Этап 2.2

Подставим уравнение $y = \frac{2 x - 1}{x + 4}$ в $f (8)$ и $f (- 3)$ , заменив $x$ в функции соответствующим значением $x$ .

$\frac{(\frac{2 (8) - 1}{(8) + 4}) - (\frac{2 (- 3) - 1}{(- 3) + 4})}{(8) - (- 3)}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим числитель и знаменатель дроби на $(8 + 4) (- 3 + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{\frac{2 (8) - 1}{8 + 4} - \frac{2 (- 3) - 1}{- 3 + 4}}{8 - (- 3)}$ на $\frac{(8 + 4) (- 3 + 4)}{(8 + 4) (- 3 + 4)}$ .

$\frac{(8 + 4) (- 3 + 4)}{(8 + 4) (- 3 + 4)} \cdot \frac{\frac{2 (8) - 1}{8 + 4} - \frac{2 (- 3) - 1}{- 3 + 4}}{8 - (- 3)}$

Этап 3.1.2

Объединим.

$\frac{(8 + 4) (- 3 + 4) (\frac{2 (8) - 1}{8 + 4} - \frac{2 (- 3) - 1}{- 3 + 4})}{(8 + 4) (- 3 + 4) (8 - (- 3))}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(8 + 4) (- 3 + 4) \frac{2 (8) - 1}{8 + 4} + (8 + 4) (- 3 + 4) (- \frac{2 (- 3) - 1}{- 3 + 4})}{(8 + 4) (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Этап 3.3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $8 + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(8 + 4) (- 3 + 4) \frac{2 (8) - 1}{8 + 4} + (8 + 4) (- 3 + 4) (- \frac{2 (- 3) - 1}{- 3 + 4})}{(8 + 4) (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(- 3 + 4) (2 (8) - 1) + (8 + 4) (- 3 + 4) (- \frac{2 (- 3) - 1}{- 3 + 4})}{(8 + 4) (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Этап 3.3.2

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{(- 3 + 4) (16 - 1) + (8 + 4) (- 3 + 4) (- \frac{2 (- 3) - 1}{- 3 + 4})}{(8 + 4) (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель $- 3 + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 (- 3) - 1}{- 3 + 4}$ в числитель.

$\frac{(- 3 + 4) (16 - 1) + (8 + 4) (- 3 + 4) \frac{- (2 (- 3) - 1)}{- 3 + 4}}{(8 + 4) (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Этап 3.3.3.2

Вынесем множитель $- 3 + 4$ из $(8 + 4) (- 3 + 4)$ .

$\frac{(- 3 + 4) (16 - 1) + (- 3 + 4) (8 + 4) \frac{- (2 (- 3) - 1)}{- 3 + 4}}{(8 + 4) (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Этап 3.3.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{(- 3 + 4) (16 - 1) + (- 3 + 4) (8 + 4) \frac{- (2 (- 3) - 1)}{- 3 + 4}}{(8 + 4) (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Этап 3.3.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{(- 3 + 4) (16 - 1) + (8 + 4) (- (2 (- 3) - 1))}{(8 + 4) (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Этап 3.3.4

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{(- 3 + 4) (16 - 1) + (8 + 4) (- (- 6 - 1))}{(8 + 4) (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $- 3$ и $4$ .

$\frac{1 (16 - 1) + (8 + 4) (- (- 6 - 1))}{(8 + 4) (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Этап 3.4.2

Умножим $16 - 1$ на $1$ .

$\frac{16 - 1 + (8 + 4) (- (- 6 - 1))}{(8 + 4) (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Этап 3.4.3

Вычтем $1$ из $16$ .

$\frac{15 + (8 + 4) (- (- 6 - 1))}{(8 + 4) (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Этап 3.4.4

Добавим $8$ и $4$ .

$\frac{15 + 12 (- (- 6 - 1))}{(8 + 4) (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Этап 3.4.5

Вычтем $1$ из $- 6$ .

$\frac{15 + 12 (- - 7)}{(8 + 4) (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Этап 3.4.6

Умножим $12 (- - 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$\frac{15 + 12 \cdot 7}{(8 + 4) (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Этап 3.4.6.2

Умножим $12$ на $7$ .

$\frac{15 + 84}{(8 + 4) (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Этап 3.4.7

Добавим $15$ и $84$ .

$\frac{99}{(8 + 4) (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Этап 3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Добавим $8$ и $4$ .

$\frac{99}{12 (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Этап 3.5.2

Добавим $- 3$ и $4$ .

$\frac{99}{12 \cdot 1 \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Этап 3.5.3

Умножим $12 \cdot 1 \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Умножим $12$ на $1$ .

$\frac{99}{12 \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Этап 3.5.3.2

Умножим $12$ на $8$ .

$\frac{99}{96 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Этап 3.5.4

Добавим $8$ и $4$ .

$\frac{99}{96 + 12 (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Этап 3.5.5

Добавим $- 3$ и $4$ .

$\frac{99}{96 + 12 \cdot 1 (- (- 3))}$

Этап 3.5.6

Умножим $12 \cdot 1 (- (- 3))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1

Умножим $12$ на $1$ .

$\frac{99}{96 + 12 (- (- 3))}$

Этап 3.5.6.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{99}{96 + 12 \cdot 3}$

Этап 3.5.6.3

Умножим $12$ на $3$ .

$\frac{99}{96 + 36}$

Этап 3.5.7

Добавим $96$ и $36$ .

$\frac{99}{132}$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $99$ и $132$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $33$ из $99$ .

$\frac{33 (3)}{132}$

Этап 3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Вынесем множитель $33$ из $132$ .

$\frac{33 \cdot 3}{33 \cdot 4}$

Этап 3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{33 \cdot 3}{33 \cdot 4}$

Этап 3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{4}$