Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x}{x + 3}$ ; $[- 1, 5]$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{x}{x + 3}$ в виде уравнения.

$y = \frac{x}{x + 3}$

Этап 2

Подставим, используя формулу средней скорости изменения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Среднюю скорость изменения функции можно найти, вычислив разность значений $y$ в двух точках и поделив на разность значений $x$ этих двух точек.

$\frac{f (5) - f (- 1)}{(5) - (- 1)}$

Этап 2.2

Подставим уравнение $y = \frac{x}{x + 3}$ в $f (5)$ и $f (- 1)$ , заменив $x$ в функции соответствующим значением $x$ .

$\frac{(\frac{5}{(5) + 3}) - (\frac{- 1}{(- 1) + 3})}{(5) - (- 1)}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим числитель и знаменатель дроби на $(5 + 3) (- 1 + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{\frac{5}{5 + 3} - \frac{- 1}{- 1 + 3}}{5 - (- 1)}$ на $\frac{(5 + 3) (- 1 + 3)}{(5 + 3) (- 1 + 3)}$ .

$\frac{(5 + 3) (- 1 + 3)}{(5 + 3) (- 1 + 3)} \cdot \frac{\frac{5}{5 + 3} - \frac{- 1}{- 1 + 3}}{5 - (- 1)}$

Этап 3.1.2

Объединим.

$\frac{(5 + 3) (- 1 + 3) (\frac{5}{5 + 3} - \frac{- 1}{- 1 + 3})}{(5 + 3) (- 1 + 3) (5 - (- 1))}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(5 + 3) (- 1 + 3) \frac{5}{5 + 3} + (5 + 3) (- 1 + 3) (- \frac{- 1}{- 1 + 3})}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Этап 3.3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $5 + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(5 + 3) (- 1 + 3) \frac{5}{5 + 3} + (5 + 3) (- 1 + 3) (- \frac{- 1}{- 1 + 3})}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- \frac{- 1}{- 1 + 3})}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $- 1 + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{- 1}{- 1 + 3}$ в числитель.

$\frac{(- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) \frac{1}{- 1 + 3}}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Этап 3.3.2.2

Вынесем множитель $- 1 + 3$ из $(5 + 3) (- 1 + 3)$ .

$\frac{(- 1 + 3) \cdot 5 + (- 1 + 3) (5 + 3) \frac{1}{- 1 + 3}}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Этап 3.3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{(- 1 + 3) \cdot 5 + (- 1 + 3) (5 + 3) \frac{1}{- 1 + 3}}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Этап 3.3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{(- 1 + 3) \cdot 5 + 5 + 3}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $- 1$ и $3$ .

$\frac{2 \cdot 5 + 5 + 3}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Этап 3.4.2

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{10 + 5 + 3}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Этап 3.4.3

Добавим $10$ и $5$ .

$\frac{15 + 3}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Этап 3.4.4

Добавим $15$ и $3$ .

$\frac{18}{(5 + 3) (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Этап 3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Добавим $5$ и $3$ .

$\frac{18}{8 (- 1 + 3) \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Этап 3.5.2

Добавим $- 1$ и $3$ .

$\frac{18}{8 \cdot 2 \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Этап 3.5.3

Умножим $8 \cdot 2 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Умножим $8$ на $2$ .

$\frac{18}{16 \cdot 5 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Этап 3.5.3.2

Умножим $16$ на $5$ .

$\frac{18}{80 + (5 + 3) (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Этап 3.5.4

Добавим $5$ и $3$ .

$\frac{18}{80 + 8 (- 1 + 3) (- (- 1))}$

Этап 3.5.5

Добавим $- 1$ и $3$ .

$\frac{18}{80 + 8 \cdot 2 (- (- 1))}$

Этап 3.5.6

Умножим $8 \cdot 2 (- (- 1))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1

Умножим $8$ на $2$ .

$\frac{18}{80 + 16 (- (- 1))}$

Этап 3.5.6.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{18}{80 + 16 \cdot 1}$

Этап 3.5.6.3

Умножим $16$ на $1$ .

$\frac{18}{80 + 16}$

Этап 3.5.7

Добавим $80$ и $16$ .

$\frac{18}{96}$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $18$ и $96$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $6$ из $18$ .

$\frac{6 (3)}{96}$

Этап 3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Вынесем множитель $6$ из $96$ .

$\frac{6 \cdot 3}{6 \cdot 16}$

Этап 3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{6 \cdot 3}{6 \cdot 16}$

Этап 3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{16}$