Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - x^{2} + 2 x + 2$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = - {(x + h)}^{2} + 2 (x + h) + 2$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = - ((x + h) (x + h)) + 2 (x + h) + 2$

Этап 2.1.2.1.2

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - (x (x + h) + h (x + h)) + 2 (x + h) + 2$

Этап 2.1.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 2 (x + h) + 2$

Этап 2.1.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 2 (x + h) + 2$

Этап 2.1.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 2 (x + h) + 2$

Этап 2.1.2.1.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 2 (x + h) + 2$

Этап 2.1.2.1.3.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 2 (x + h) + 2$

Этап 2.1.2.1.3.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 2 (x + h) + 2$

Этап 2.1.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - x^{2} - (2 h x) - h^{2} + 2 (x + h) + 2$

Этап 2.1.2.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (x + h) = - x^{2} - 2 (h x) - h^{2} + 2 (x + h) + 2$

Этап 2.1.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = - x^{2} - 2 h x - h^{2} + 2 x + 2 h + 2$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $- x^{2} - 2 h x - h^{2} + 2 x + 2 h + 2$ .

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} + 2 x + 2 h + 2$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $2 x$ .

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} + 2 h + 2 x + 2$

Этап 2.2.2

Перенесем $- x^{2}$ .

$- 2 h x - h^{2} - x^{2} + 2 h + 2 x + 2$

Этап 2.2.3

Изменим порядок $- 2 h x$ и $- h^{2}$ .

$- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 2 h + 2 x + 2$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 2 h + 2 x + 2$

$f (x) = - x^{2} + 2 x + 2$

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 2 h + 2 x + 2$

$f (x) = - x^{2} + 2 x + 2$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 2 h + 2 x + 2 - (- x^{2} + 2 x + 2)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 2 h + 2 x + 2 - - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 2}{h}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 2 h + 2 x + 2 + 1 x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 2}{h}$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 2 h + 2 x + 2 + x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 2}{h}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 2 h + 2 x + 2 + x^{2} - 2 x - 1 \cdot 2}{h}$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 2 h + 2 x + 2 + x^{2} - 2 x - 2}{h}$

Этап 4.1.3

Добавим $- x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x + 2 h + 2 x + 2 + 0 - 2 x - 2}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $- h^{2}$ и $0$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x + 2 h + 2 x + 2 - 2 x - 2}{h}$

Этап 4.1.5

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x + 2 h + 0 + 2 - 2}{h}$

Этап 4.1.6

Добавим $- h^{2}$ и $0$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x + 2 h + 2 - 2}{h}$

Этап 4.1.7

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x + 2 h + 0}{h}$

Этап 4.1.8

Добавим $- h^{2} - 2 h x + 2 h$ и $0$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x + 2 h}{h}$

Этап 4.1.9

Вынесем множитель $h$ из $- h^{2} - 2 h x + 2 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.1

Вынесем множитель $h$ из $- h^{2}$ .

$\frac{h (- h) - 2 h x + 2 h}{h}$

Этап 4.1.9.2

Вынесем множитель $h$ из $- 2 h x$ .

$\frac{h (- h) + h (- 2 x) + 2 h}{h}$

Этап 4.1.9.3

Вынесем множитель $h$ из $2 h$ .

$\frac{h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot 2}{h}$

Этап 4.1.9.4

Вынесем множитель $h$ из $h (- h) + h (- 2 x)$ .

$\frac{h (- h - 2 x) + h \cdot 2}{h}$

Этап 4.1.9.5

Вынесем множитель $h$ из $h (- h - 2 x) + h \cdot 2$ .

$\frac{h (- h - 2 x + 2)}{h}$

Этап 4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (- h - 2 x + 2)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $- h - 2 x + 2$ на $1$ .

$- h - 2 x + 2$

Этап 4.2.2

Изменим порядок $- h$ и $- 2 x$ .

$- 2 x - h + 2$

Этап 5