Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 5 \sqrt[5]{x + 7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = 5 \sqrt[5]{x + 7}$ в виде уравнения.

$y = 5 \sqrt[5]{x + 7}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 5 \sqrt[5]{y + 7}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $5 \sqrt[5]{y + 7} = x$ .

$5 \sqrt[5]{y + 7} = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $5 \sqrt[5]{y + 7} = x$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $5 \sqrt[5]{y + 7} = x$ на $5$ .

$\frac{5 \sqrt[5]{y + 7}}{5} = \frac{x}{5}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \sqrt[5]{y + 7}}{5} = \frac{x}{5}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $\sqrt[5]{y + 7}$ на $1$ .

$\sqrt[5]{y + 7} = \frac{x}{5}$

Этап 3.3

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $5$ .

${\sqrt[5]{y + 7}}^{5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Этап 3.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{y + 7}$ в виде ${(y + 7)}^{\frac{1}{5}}$ .

${({(y + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим ${({(y + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(y + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Этап 3.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(y + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Этап 3.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y + 7)}^{1} = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Этап 3.4.2.1.2

Упростим.

$y + 7 = {(\frac{x}{5})}^{5}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим ${(\frac{x}{5})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Применим правило умножения к $\frac{x}{5}$ .

$y + 7 = \frac{x^{5}}{5^{5}}$

Этап 3.4.3.1.2

Возведем $5$ в степень $5$ .

$y + 7 = \frac{x^{5}}{3125}$

Этап 3.5

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$y = \frac{x^{5}}{3125} - 7$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125} - 7$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125} - 7$ обратной к $f (x) = 5 \sqrt[5]{x + 7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{{(5 \sqrt[5]{x + 7})}^{5}}{3125} - 7$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Применим правило умножения к $5 \sqrt[5]{x + 7}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{5^{5} {\sqrt[5]{x + 7}}^{5}}{3125} - 7$

Этап 5.2.3.1.2

Возведем $5$ в степень $5$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {\sqrt[5]{x + 7}}^{5}}{3125} - 7$

Этап 5.2.3.1.3

Перепишем ${\sqrt[5]{x + 7}}^{5}$ в виде $x + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{x + 7}$ в виде ${(x + 7)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {({(x + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{3125} - 7$

Этап 5.2.3.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {(x + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{3125} - 7$

Этап 5.2.3.1.3.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $5$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {(x + 7)}^{\frac{5}{5}}}{3125} - 7$

Этап 5.2.3.1.3.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 {(x + 7)}^{\frac{5}{5}}}{3125} - 7$

Этап 5.2.3.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 (x + 7)}{3125} - 7$

Этап 5.2.3.1.3.5

Упростим.

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 (x + 7)}{3125} - 7$

Этап 5.2.3.2

Сократим общий множитель $3125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = \frac{3125 (x + 7)}{3125} - 7$

Этап 5.2.3.2.2

Разделим $x + 7$ на $1$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = x + 7 - 7$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x + 7 - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вычтем $7$ из $7$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (5 \sqrt[5]{x + 7}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{x^{5}}{3125} - 7)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{(\frac{x^{5}}{3125} - 7) + 7}$

Этап 5.3.3

Добавим $- 7$ и $7$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{3125} + 0}$

Этап 5.3.4

Добавим $\frac{x^{5}}{3125}$ и $0$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{3125}}$

Этап 5.3.5

Перепишем $3125$ в виде $5^{5}$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{5^{5}}}$

Этап 5.3.6

Перепишем $\frac{x^{5}}{5^{5}}$ в виде ${(\frac{x}{5})}^{5}$ .

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 \sqrt[5]{{(\frac{x}{5})}^{5}}$

Этап 5.3.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 (\frac{x}{5})$

Этап 5.3.8

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = 5 (\frac{x}{5})$

Этап 5.3.8.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{5}}{3125} - 7) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125} - 7$ — обратная к $f (x) = 5 \sqrt[5]{x + 7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{3125} - 7$