Основы мат. анализа Примеры

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 15 x + 5}{x^{2} - 2 x - 8}$

Этап 1

Разделим, используя метод деления многочленов в столбик.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$5$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

							$2 x$
	$x^{2}$	-	$2 x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$5$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

						$2 x$
$x^{2}$	-	$2 x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$5$
					+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$16 x$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x$ .

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$5$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$5$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

Этап 1.6

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$5$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$5$

Этап 1.7

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$2 x + \frac{x + 5}{x^{2} - 2 x - 8}$

Этап 2

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $x^{2} - 2 x - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $- 2$ .

$- 4, 2$

Этап 2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x + 5}{(x - 4) (x + 2)}$

Этап 2.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x - 4}$

Этап 2.3

$\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 2}$

Этап 2.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x - 4) (x + 2)$ .

$\frac{(x + 5) (x - 4) (x + 2)}{(x - 4) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 2.5

Сократим общий множитель $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 5) (x - 4) (x + 2)}{(x - 4) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 2.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x + 5) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 2.6

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 5) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 2.6.2

Разделим $x + 5$ на $1$ .

$x + 5 = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 2.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Сократим общий множитель $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Сократим общий множитель.

$x + 5 = \frac{A (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 2.7.1.2

Разделим $(A) (x + 2)$ на $1$ .

$x + 5 = (A) (x + 2) + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 2.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 5 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 2.7.3

Перенесем $2$ влево от $A$ .

$x + 5 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 2.7.4

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$x + 5 = A x + 2 A + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 2.7.4.2

Разделим $(B) (x - 4)$ на $1$ .

$x + 5 = A x + 2 A + (B) (x - 4)$

Этап 2.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 5 = A x + 2 A + B x + B \cdot - 4$

Этап 2.7.6

Перенесем $- 4$ влево от $B$ .

$x + 5 = A x + 2 A + B x - 4 B$

Этап 2.8

Перенесем $2 A$ .

$x + 5 = A x + B x + 2 A - 4 B$

Этап 3

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B$

Этап 3.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$5 = 2 A - 4 B$

Этап 3.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = A + B$

$5 = 2 A - 4 B$

$1 = A + B$

$5 = 2 A - 4 B$

Этап 4

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Решим относительно $A$ в $1 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$5 = 2 A - 4 B$

Этап 4.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 1 - B$

$5 = 2 A - 4 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 A - 4 B$

Этап 4.2

Заменим все вхождения $A$ на $1 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $5 = 2 A - 4 B$ на $1 - B$ .

$5 = 2 (1 - B) - 4 B$

$A = 1 - B$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим $2 (1 - B) - 4 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 = 2 \cdot 1 + 2 (- B) - 4 B$

$A = 1 - B$

Этап 4.2.2.1.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$5 = 2 + 2 (- B) - 4 B$

$A = 1 - B$

Этап 4.2.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$5 = 2 - 2 B - 4 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 2 B - 4 B$

$A = 1 - B$

Этап 4.2.2.1.2

Вычтем $4 B$ из $- 2 B$ .

$5 = 2 - 6 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 6 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 6 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 6 B$

$A = 1 - B$

Этап 4.3

Решим относительно $B$ в $5 = 2 - 6 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем уравнение в виде $2 - 6 B = 5$ .

$2 - 6 B = 5$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- 6 B = 5 - 2$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.2.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$- 6 B = 3$

$A = 1 - B$

$- 6 B = 3$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.3

Разделим каждый член $- 6 B = 3$ на $- 6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Разделим каждый член $- 6 B = 3$ на $- 6$ .

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1

Сократим общий множитель $3$ и $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$B = \frac{3 (1)}{- 6}$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$B = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot - 2}$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$B = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot - 2}$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Этап 4.4

Заменим все вхождения $B$ на $- \frac{1}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 1 - B$ на $- \frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (- \frac{1}{2})$

$B = - \frac{1}{2}$

Этап 4.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим $1 - (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Умножим $- (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$A = 1 + 1 (\frac{1}{2})$

$B = - \frac{1}{2}$

Этап 4.4.2.1.1.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$A = 1 + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

Этап 4.4.2.1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$A = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

Этап 4.4.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$A = \frac{2 + 1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

Этап 4.4.2.1.4

Добавим $2$ и $1$ .

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

Этап 4.5

Перечислим все решения.

$A = \frac{3}{2}, B = - \frac{1}{2}$

Этап 5

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $2 x + \frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 2}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$2 x + \frac{\frac{3}{2}}{x - 4} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 2}$