Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$ в виде уравнения.

$y = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt[3]{9 (y - 9)}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt[3]{9 (y - 9)} = x$ .

$\sqrt[3]{9 (y - 9)} = x$

Этап 3.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{9 (y - 9)}}^{3} = x^{3}$

Этап 3.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{9 (y - 9)}$ в виде ${(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${({(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Этап 3.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(9 (y - 9))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Этап 3.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(9 (y - 9))}^{1} = x^{3}$

Этап 3.3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(9 y + 9 \cdot - 9)}^{1} = x^{3}$

Этап 3.3.2.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1

Умножим $9$ на $- 9$ .

${(9 y - 81)}^{1} = x^{3}$

Этап 3.3.2.1.3.2

Упростим.

$9 y - 81 = x^{3}$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $81$ к обеим частям уравнения.

$9 y = x^{3} + 81$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $9 y = x^{3} + 81$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $9 y = x^{3} + 81$ на $9$ .

$\frac{9 y}{9} = \frac{x^{3}}{9} + \frac{81}{9}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 y}{9} = \frac{x^{3}}{9} + \frac{81}{9}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{9} + \frac{81}{9}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Разделим $81$ на $9$ .

$y = \frac{x^{3}}{9} + 9$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{9} + 9$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{9} + 9$ обратной к $f (x) = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{(\sqrt[3]{9 (x - 9)})}^{3}}{9} + 9$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Перепишем ${\sqrt[3]{9 (x - 9)}}^{3}$ в виде $9 (x - 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{9 (x - 9)}$ в виде ${(9 (x - 9))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{({(9 (x - 9))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{9} + 9$

Этап 5.2.3.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{(9 (x - 9))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{9} + 9$

Этап 5.2.3.1.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{(9 (x - 9))}^{\frac{3}{3}}}{9} + 9$

Этап 5.2.3.1.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{{(9 (x - 9))}^{\frac{3}{3}}}{9} + 9$

Этап 5.2.3.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x - 9)}{9} + 9$

Этап 5.2.3.1.1.5

Упростим.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x - 9)}{9} + 9$

Этап 5.2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 x + 9 \cdot - 9}{9} + 9$

Этап 5.2.3.1.3

Умножим $9$ на $- 9$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 x - 81}{9} + 9$

Этап 5.2.3.1.4

Вынесем множитель $9$ из $9 x - 81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $9$ из $9 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x) - 81}{9} + 9$

Этап 5.2.3.1.4.2

Вынесем множитель $9$ из $- 81$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 x + 9 \cdot - 9}{9} + 9$

Этап 5.2.3.1.4.3

Вынесем множитель $9$ из $9 x + 9 \cdot - 9$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x - 9)}{9} + 9$

Этап 5.2.3.2

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = \frac{9 (x - 9)}{9} + 9$

Этап 5.2.3.2.2

Разделим $x - 9$ на $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = x - 9 + 9$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x - 9 + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $- 9$ и $9$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{9 (x - 9)}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{x^{3}}{9} + 9)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{9 ((\frac{x^{3}}{9} + 9) - 9)}$

Этап 5.3.3

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вычтем $9$ из $9$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{9 (\frac{x^{3}}{9} + 0)}$

Этап 5.3.3.2

Добавим $\frac{x^{3}}{9}$ и $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{9 (\frac{x^{3}}{9})}$

Этап 5.3.4

Объединим $9$ и $\frac{x^{3}}{9}$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{\frac{9 x^{3}}{9}}$

Этап 5.3.5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Сократим выражение $\frac{9 x^{3}}{9}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{\frac{9 x^{3}}{9}}$

Этап 5.3.5.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1}}$

Этап 5.3.5.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Этап 5.3.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f (\frac{x^{3}}{9} + 9) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{9} + 9$ — обратная к $f (x) = \sqrt[3]{9 (x - 9)}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{9} + 9$