Основы мат. анализа Примеры

$h (x) = \sqrt{\frac{x + 2}{x^{2} - 5 x}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{\frac{x + 2}{x^{2} - 5 x}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{x + 2}{x^{2} - 5 x} \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 5 x = 0$

Этап 2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x - 5 x = 0$

Этап 2.3.2

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 5 = 0$

Этап 2.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 5$ .

$x (x - 5) = 0$

Этап 2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 5 = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.6

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 2.6.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 5) = 0$ верно.

$x = 0, 5$

Этап 2.8

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - 2$

$x = 0, 5$

Этап 2.9

Объединим решения.

$x = - 2, 0, 5$

Этап 2.10

Найдем область определения $\frac{x + 2}{x^{2} - 5 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Зададим знаменатель в $\frac{x + 2}{x^{2} - 5 x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 5 x = 0$

Этап 2.10.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x - 5 x = 0$

Этап 2.10.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 5 = 0$

Этап 2.10.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 5$ .

$x (x - 5) = 0$

Этап 2.10.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 5 = 0$

Этап 2.10.2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.10.2.4

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.4.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 2.10.2.4.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 2.10.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 5) = 0$ верно.

$x = 0, 5$

Этап 2.10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, 5) \cup (5, \infty)$

Этап 2.11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 5$

$x > 5$

Этап 2.12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 2.12.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 4) + 2}{{(- 4)}^{2} - 5 \cdot - 4} \geq 0$

Этап 2.12.1.3

Левая часть $- 0.0\overline{5}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.12.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 1$

Этап 2.12.2.2

Заменим $x$ на $- 1$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 1) + 2}{{(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1} \geq 0$

Этап 2.12.2.3

Левая часть $0.1\overline{6}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.12.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 2.12.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{(2) + 2}{{(2)}^{2} - 5 \cdot 2} \geq 0$

Этап 2.12.3.3

Левая часть $- 0.\overline{6}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.12.4

Проверим значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.4.1

Выберем значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 2.12.4.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\frac{(8) + 2}{{(8)}^{2} - 5 \cdot 8} \geq 0$

Этап 2.12.4.3

Левая часть $0.41\overline{6}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.12.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 0$ Истина

$0 < x < 5$ Ложь

$x > 5$ Истина

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 0$ Истина

$0 < x < 5$ Ложь

$x > 5$ Истина

Этап 2.13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 2 \leq x < 0$ или $x > 5$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{x + 2}{x^{2} - 5 x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 5 x = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x - 5 x = 0$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 5 = 0$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 5$ .

$x (x - 5) = 0$

Этап 4.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 5 = 0$

Этап 4.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4.4

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 4.4.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 4.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 5) = 0$ верно.

$x = 0, 5$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 2, 0) \cup (5, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | - 2 \leq x < 0, x > 5}$

Этап 6