Основы мат. анализа Примеры

$g (t) = 2 \cos^{2} (t)$ , $[0, \frac{π}{6}]$

Этап 1

Запишем $g (t) = 2 \cos^{2} (t)$ в виде уравнения.

$y = 2 \cos^{2} (t)$

Этап 2

Подставим, используя формулу средней скорости изменения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Среднюю скорость изменения функции можно найти, вычислив разность значений $y$ в двух точках и поделив на разность значений $t$ этих двух точек.

$\frac{f (\frac{π}{6}) - f (0)}{(\frac{π}{6}) - (0)}$

Этап 2.2

Подставим уравнение $y = 2 \cos^{2} (t)$ в $f (\frac{π}{6})$ и $f (0)$ , заменив $t$ в функции соответствующим значением $t$ .

$\frac{(2 \cos^{2} (\frac{π}{6})) - (2 \cos^{2} (0))}{(\frac{π}{6}) - (0)}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим числитель и знаменатель дроби на $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 2 \cos^{2} (0)}{\frac{π}{6} - (0)}$ на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{6} \cdot \frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 2 \cos^{2} (0)}{\frac{π}{6} - (0)}$

Этап 3.1.2

Объединим.

$\frac{6 (2 \cos^{2} (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{6 (\frac{π}{6} - (0))}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 (2 \cos^{2} (\frac{π}{6})) + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{6 \frac{π}{6} + 6 (- (0))}$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 (2 \cos^{2} (\frac{π}{6})) + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{6 \frac{π}{6} + 6 (- (0))}$

Этап 3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{6 (2 \cos^{2} (\frac{π}{6})) + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{12 \cos^{2} (\frac{π}{6}) + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Этап 3.4.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{12 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Этап 3.4.3

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{12 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Этап 3.4.4

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Этап 3.4.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Этап 3.4.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{12 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Этап 3.4.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Этап 3.4.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{12 \frac{3^{1}}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Этап 3.4.4.5

Найдем экспоненту.

$\frac{12 \frac{3}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Этап 3.4.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{12 (\frac{3}{4}) + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Этап 3.4.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{4 (3) \frac{3}{4} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Этап 3.4.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 3 \frac{3}{4} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Этап 3.4.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \cdot 3 + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Этап 3.4.7

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{9 + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Этап 3.4.8

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{9 + 6 (- 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Этап 3.4.9

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{9 + 6 (- 2 \cdot 1^{2})}{π + 6 (- (0))}$

Этап 3.4.10

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{9 + 6 (- 2 \cdot 1)}{π + 6 (- (0))}$

Этап 3.4.11

Умножим $6 (- 2 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.11.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{9 + 6 \cdot - 2}{π + 6 (- (0))}$

Этап 3.4.11.2

Умножим $6$ на $- 2$ .

$\frac{9 - 12}{π + 6 (- (0))}$

Этап 3.4.12

Вычтем $12$ из $9$ .

$\frac{- 3}{π + 6 (- (0))}$

Этап 3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $6 (- (0))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{- 3}{π + 6 \cdot 0}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $6$ на $0$ .

$\frac{- 3}{π + 0}$

Этап 3.5.2

Добавим $π$ и $0$ .

$\frac{- 3}{π}$

Этап 3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{π}$