Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}$ в виде уравнения.

$y = \frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{\sqrt[5]{y - 2}}{9}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{\sqrt[5]{y - 2}}{9} = x$ .

$\frac{\sqrt[5]{y - 2}}{9} = x$

Этап 3.2

Умножим обе части уравнения на $9$ .

$9 \frac{\sqrt[5]{y - 2}}{9} = 9 x$

Этап 3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$9 \frac{\sqrt[5]{y - 2}}{9} = 9 x$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt[5]{y - 2} = 9 x$

Этап 3.4

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $5$ .

${\sqrt[5]{y - 2}}^{5} = {(9 x)}^{5}$

Этап 3.5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{y - 2}$ в виде ${(y - 2)}^{\frac{1}{5}}$ .

${({(y - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(9 x)}^{5}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим ${({(y - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(y - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 2)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(9 x)}^{5}$

Этап 3.5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(y - 2)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(9 x)}^{5}$

Этап 3.5.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y - 2)}^{1} = {(9 x)}^{5}$

Этап 3.5.2.1.2

Упростим.

$y - 2 = {(9 x)}^{5}$

Этап 3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Упростим ${(9 x)}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Применим правило умножения к $9 x$ .

$y - 2 = 9^{5} x^{5}$

Этап 3.5.3.1.2

Возведем $9$ в степень $5$ .

$y - 2 = 59049 x^{5}$

Этап 3.6

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = 59049 x^{5} + 2$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = 59049 x^{5} + 2$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 59049 x^{5} + 2$ обратной к $f (x) = \frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = 59049 {(\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9})}^{5} + 2$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = 59049 (\frac{{\sqrt[5]{x - 2}}^{5}}{9^{5}}) + 2$

Этап 5.2.3.2

Перепишем ${\sqrt[5]{x - 2}}^{5}$ в виде $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{x - 2}$ в виде ${(x - 2)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = 59049 (\frac{{({(x - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{9^{5}}) + 2$

Этап 5.2.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = 59049 (\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{9^{5}}) + 2$

Этап 5.2.3.2.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $5$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = 59049 (\frac{{(x - 2)}^{\frac{5}{5}}}{9^{5}}) + 2$

Этап 5.2.3.2.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = 59049 (\frac{{(x - 2)}^{\frac{5}{5}}}{9^{5}}) + 2$

Этап 5.2.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = 59049 (\frac{x - 2}{9^{5}}) + 2$

Этап 5.2.3.2.5

Упростим.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = 59049 (\frac{x - 2}{9^{5}}) + 2$

Этап 5.2.3.3

Возведем $9$ в степень $5$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = 59049 (\frac{x - 2}{59049}) + 2$

Этап 5.2.3.4

Сократим общий множитель $59049$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = 59049 (\frac{x - 2}{59049}) + 2$

Этап 5.2.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = x - 2 + 2$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x - 2 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (59049 x^{5} + 2)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (59049 x^{5} + 2) = \frac{\sqrt[5]{(59049 x^{5} + 2) - 2}}{9}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (59049 x^{5} + 2) = \frac{\sqrt[5]{59049 x^{5} + 0}}{9}$

Этап 5.3.3.2

Добавим $59049 x^{5}$ и $0$ .

$f (59049 x^{5} + 2) = \frac{\sqrt[5]{59049 x^{5}}}{9}$

Этап 5.3.3.3

Перепишем $59049 x^{5}$ в виде ${(9 x)}^{5}$ .

$f (59049 x^{5} + 2) = \frac{\sqrt[5]{{(9 x)}^{5}}}{9}$

Этап 5.3.3.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f (59049 x^{5} + 2) = \frac{9 x}{9}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (59049 x^{5} + 2) = \frac{9 x}{9}$

Этап 5.3.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (59049 x^{5} + 2) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 59049 x^{5} + 2$ — обратная к $f (x) = \frac{\sqrt[5]{x - 2}}{9}$ .

$f^{- 1} (x) = 59049 x^{5} + 2$