Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$ в виде уравнения.

$y = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = {(\frac{\sqrt[3]{y}}{10})}^{5}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим ${(\frac{\sqrt[3]{y}}{10})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[3]{y}}{10}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{y}}^{5}}{10^{5}}$

Этап 3.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перепишем ${\sqrt[3]{y}}^{5}$ в виде $\sqrt[3]{y^{5}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{5}}}{10^{5}}$

Этап 3.1.2.2

Вынесем $y^{3}$ за скобки.

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{3} y^{2}}}{10^{5}}$

Этап 3.1.2.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{10^{5}}$

Этап 3.1.3

Возведем $10$ в степень $5$ .

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{100000}$

Этап 3.2

Перепишем уравнение в виде $\frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{100000} = x$ .

$\frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{100000} = x$

Этап 3.3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{y^{2}}$ в виде $y^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{y \cdot y^{\frac{2}{3}}}{100000} = x$

Этап 3.4

Умножим обе части уравнения на $100000$ .

$100000 \frac{y \cdot y^{\frac{2}{3}}}{100000} = 100000 x$

Этап 3.5

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим $100000 \frac{y \cdot y^{\frac{2}{3}}}{100000}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Сократим общий множитель $100000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1

Сократим общий множитель.

$100000 \frac{y \cdot y^{\frac{2}{3}}}{100000} = 100000 x$

Этап 3.5.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y \cdot y^{\frac{2}{3}} = 100000 x$

Этап 3.5.1.2

Умножим $y$ на $y^{\frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.2.1

Умножим $y$ на $y^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.2.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y^{1} y^{\frac{2}{3}} = 100000 x$

Этап 3.5.1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y^{1 + \frac{2}{3}} = 100000 x$

Этап 3.5.1.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} = 100000 x$

Этап 3.5.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y^{\frac{3 + 2}{3}} = 100000 x$

Этап 3.5.1.2.4

Добавим $3$ и $2$ .

$y^{\frac{5}{3}} = 100000 x$

Этап 3.6

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{3}{5}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(y^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Этап 3.7

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Упростим ${(y^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Этап 3.7.1.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Этап 3.7.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Этап 3.7.1.1.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Этап 3.7.1.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Этап 3.7.1.1.2

Упростим.

$y = {(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$

Этап 3.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Упростим ${(100000 x)}^{\frac{3}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1.1.1

Применим правило умножения к $100000 x$ .

$y = 100000^{\frac{3}{5}} x^{\frac{3}{5}}$

Этап 3.7.2.1.1.2

Перепишем $100000$ в виде $10^{5}$ .

$y = {(10^{5})}^{\frac{3}{5}} x^{\frac{3}{5}}$

Этап 3.7.2.1.1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 10^{5 (\frac{3}{5})} x^{\frac{3}{5}}$

Этап 3.7.2.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y = 10^{5 (\frac{3}{5})} x^{\frac{3}{5}}$

Этап 3.7.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y = 10^{3} x^{\frac{3}{5}}$

Этап 3.7.2.1.3

Возведем $10$ в степень $3$ .

$y = 1000 x^{\frac{3}{5}}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = 1000 x^{\frac{3}{5}}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 1000 x^{\frac{3}{5}}$ обратной к $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 {({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5})}^{\frac{3}{5}}$

Этап 5.2.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5})}^{\frac{3}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5 (\frac{3}{5})}$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5 (\frac{3}{5})}$

Этап 5.2.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{3}$

Этап 5.2.3.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[3]{x}}{10}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{3}}{10^{3}})$

Этап 5.2.4

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{10^{3}})$

Этап 5.2.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{10^{3}})$

Этап 5.2.4.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{10^{3}})$

Этап 5.2.4.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{10^{3}})$

Этап 5.2.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x}{10^{3}})$

Этап 5.2.4.5

Упростим.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x}{10^{3}})$

Этап 5.2.5

Возведем $10$ в степень $3$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x}{1000})$

Этап 5.2.6

Сократим общий множитель $1000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = 1000 (\frac{x}{1000})$

Этап 5.2.6.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (1000 x^{\frac{3}{5}})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(\frac{\sqrt[3]{1000 x^{\frac{3}{5}}}}{10})}^{5}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Перепишем $1000 x^{\frac{3}{5}}$ в виде ${(10 x^{\frac{1}{5}})}^{3}$ .

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(\frac{\sqrt[3]{{(10 x^{\frac{1}{5}})}^{3}}}{10})}^{5}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(\frac{10 x^{\frac{1}{5}}}{10})}^{5}$

Этап 5.3.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(\frac{10 x^{\frac{1}{5}}}{10})}^{5}$

Этап 5.3.4.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Разделим $x^{\frac{1}{5}}$ на $1$ .

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = {(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Этап 5.3.4.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Этап 5.3.4.2.2.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Этап 5.3.4.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f (1000 x^{\frac{3}{5}}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 1000 x^{\frac{3}{5}}$ — обратная к $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{10})}^{5}$ .

$f^{- 1} (x) = 1000 x^{\frac{3}{5}}$