Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ в виде уравнения.

$y = \frac{x^{5} - 6}{9}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{y^{5} - 6}{9}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y^{5} - 6}{9} = x$ .

$\frac{y^{5} - 6}{9} = x$

Этап 3.2

Умножим обе части уравнения на $9$ .

$9 \frac{y^{5} - 6}{9} = 9 x$

Этап 3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$9 \frac{y^{5} - 6}{9} = 9 x$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{5} - 6 = 9 x$

Этап 3.4

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$y^{5} = 9 x + 6$

Этап 3.5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[5]{9 x + 6}$

Этап 3.6

Вынесем множитель $3$ из $9 x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $3$ из $9 x$ .

$y = \sqrt[5]{3 (3 x) + 6}$

Этап 3.6.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$y = \sqrt[5]{3 (3 x) + 3 (2)}$

Этап 3.6.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (3 x) + 3 (2)$ .

$y = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$ обратной к $f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (3 (\frac{x^{5} - 6}{9}) + 2)}$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (3 (\frac{x^{5} - 6}{3 (3)}) + 2)}$

Этап 5.2.3.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (3 (\frac{x^{5} - 6}{3 \cdot 3}) + 2)}$

Этап 5.2.3.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6}{3} + 2)}$

Этап 5.2.4

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3})}$

Этап 5.2.5

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3})}$

Этап 5.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6 + 2 \cdot 3}{3})}$

Этап 5.2.7

Изменим порядок членов.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} + 2 \cdot 3 - 6}{3})}$

Этап 5.2.8

Перепишем $\frac{x^{5} + 2 \cdot 3 - 6}{3}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Умножим $2$ на $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} + 6 - 6}{3})}$

Этап 5.2.8.2

Вычтем $6$ из $6$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} + 0}{3})}$

Этап 5.2.8.3

Добавим $x^{5}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5}}{3})}$

Этап 5.2.9

Объединим $3$ и $\frac{x^{5}}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{\frac{3 x^{5}}{3}}$

Этап 5.2.10

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.1

Сократим выражение $\frac{3 x^{5}}{3}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.1.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{\frac{3 x^{5}}{3}}$

Этап 5.2.10.1.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{1}}$

Этап 5.2.10.2

Разделим $x^{5}$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Этап 5.2.11

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{(\sqrt[5]{3 (3 x + 2)})}^{5} - 6}{9}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$ в виде ${(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{({(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5}})}^{5} - 6}{9}$

Этап 5.3.3.2

Перемножим экспоненты в ${({(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 6}{9}$

Этап 5.3.3.2.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 6}{9}$

Этап 5.3.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(3 (3 x + 2)) - 6}{9}$

Этап 5.3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(3 (3 x) + 3 \cdot 2) - 6}{9}$

Этап 5.3.3.4

Умножим $3$ на $3$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(9 x + 3 \cdot 2) - 6}{9}$

Этап 5.3.3.5

Умножим $3$ на $2$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(9 x + 6) - 6}{9}$

Этап 5.3.3.6

Упростим.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x + 6 - 6}{9}$

Этап 5.3.3.7

Вычтем $6$ из $6$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x + 0}{9}$

Этап 5.3.3.8

Добавим $9 x$ и $0$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x}{9}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x}{9}$

Этап 5.3.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$ — обратная к $f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$