Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = 9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}$ в виде уравнения.

$y = 9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}} = x$ .

$9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}} = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}} = x$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}} = x$ на $9$ .

$\frac{9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}}}{9} = \frac{x}{9}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}}}{9} = \frac{x}{9}$

Этап 3.2.2.2

Разделим ${(y + 9)}^{\frac{1}{3}}$ на $1$ .

${(y + 9)}^{\frac{1}{3}} = \frac{x}{9}$

Этап 3.3

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${({(y + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{x}{9})}^{3}$

Этап 3.4

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Упростим ${({(y + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(y + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{9})}^{3}$

Этап 3.4.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(y + 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{9})}^{3}$

Этап 3.4.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y + 9)}^{1} = {(\frac{x}{9})}^{3}$

Этап 3.4.1.1.2

Упростим.

$y + 9 = {(\frac{x}{9})}^{3}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим ${(\frac{x}{9})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{x}{9}$ .

$y + 9 = \frac{x^{3}}{9^{3}}$

Этап 3.4.2.1.2

Возведем $9$ в степень $3$ .

$y + 9 = \frac{x^{3}}{729}$

Этап 3.5

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$y = \frac{x^{3}}{729} - 9$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{729} - 9$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{729} - 9$ обратной к $f (x) = 9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{{(9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{729} - 9$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Применим правило умножения к $9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{9^{3} {({(x + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{729} - 9$

Этап 5.2.3.1.2

Возведем $9$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{729 {({(x + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{729} - 9$

Этап 5.2.3.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{729 {(x + 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{729} - 9$

Этап 5.2.3.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{729 {(x + 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{729} - 9$

Этап 5.2.3.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{729 (x + 9)}{729} - 9$

Этап 5.2.3.1.4

Упростим.

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{729 (x + 9)}{729} - 9$

Этап 5.2.3.2

Сократим общий множитель $729$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{729 (x + 9)}{729} - 9$

Этап 5.2.3.2.2

Разделим $x + 9$ на $1$ .

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = x + 9 - 9$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x + 9 - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вычтем $9$ из $9$ .

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{x^{3}}{729} - 9)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 {((\frac{x^{3}}{729} - 9) + 9)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 5.3.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Объединим противоположные члены в $(\frac{x^{3}}{729} - 9) + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Добавим $- 9$ и $9$ .

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 {(\frac{x^{3}}{729} + 0)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 5.3.3.1.2

Добавим $\frac{x^{3}}{729}$ и $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 {(\frac{x^{3}}{729})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 5.3.3.2

Применим правило умножения к $\frac{x^{3}}{729}$ .

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{{(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{729^{\frac{1}{3}}})$

Этап 5.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{729^{\frac{1}{3}}})$

Этап 5.3.4.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{729^{\frac{1}{3}}})$

Этап 5.3.4.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{729^{\frac{1}{3}}})$

Этап 5.3.4.2

Упростим.

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{729^{\frac{1}{3}}})$

Этап 5.3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Перепишем $729$ в виде $9^{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{{(9^{3})}^{\frac{1}{3}}})$

Этап 5.3.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{9^{3 (\frac{1}{3})}})$

Этап 5.3.5.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{9^{3 (\frac{1}{3})}})$

Этап 5.3.5.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{9})$

Этап 5.3.5.4

Найдем экспоненту.

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{9})$

Этап 5.3.6

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{9})$

Этап 5.3.6.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{729} - 9$ — обратная к $f (x) = 9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{729} - 9$