Основы мат. анализа Примеры

$2 x - y^{2} = 4 y + 10$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изолируем $x$ в левой части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Добавим $y^{2}$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 4 y + 10 + y^{2}$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $2 x = 4 y + 10 + y^{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $2 x = 4 y + 10 + y^{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{4 y}{2} + \frac{10}{2} + \frac{y^{2}}{2}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{4 y}{2} + \frac{10}{2} + \frac{y^{2}}{2}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4 y}{2} + \frac{10}{2} + \frac{y^{2}}{2}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 y$ .

$x = \frac{2 (2 y)}{2} + \frac{10}{2} + \frac{y^{2}}{2}$

Этап 1.1.2.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$x = \frac{2 (2 y)}{2 (1)} + \frac{10}{2} + \frac{y^{2}}{2}$

Этап 1.1.2.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 (2 y)}{2 \cdot 1} + \frac{10}{2} + \frac{y^{2}}{2}$

Этап 1.1.2.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{2 y}{1} + \frac{10}{2} + \frac{y^{2}}{2}$

Этап 1.1.2.3.1.1.2.4

Разделим $2 y$ на $1$ .

$x = 2 y + \frac{10}{2} + \frac{y^{2}}{2}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Разделим $10$ на $2$ .

$x = 2 y + 5 + \frac{y^{2}}{2}$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $2 y + 5 + \frac{y^{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Перенесем $5$ .

$2 y + \frac{y^{2}}{2} + 5$

Этап 1.2.1.2

Изменим порядок $2 y$ и $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y + 5$

Этап 1.2.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = 2$

$c = 5$

Этап 1.2.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Этап 1.2.4.2.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = 1 \cdot 2$

Этап 1.2.4.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$d = 2$

Этап 1.2.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 5 - \frac{2^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Этап 1.2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$e = 5 - \frac{4}{4 (\frac{1}{2})}$

Этап 1.2.5.2.1.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$e = 5 - \frac{4}{\frac{4}{2}}$

Этап 1.2.5.2.1.3

Разделим $4$ на $2$ .

$e = 5 - \frac{4}{2}$

Этап 1.2.5.2.1.4

Разделим $4$ на $2$ .

$e = 5 - 1 \cdot 2$

Этап 1.2.5.2.1.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$e = 5 - 2$

Этап 1.2.5.2.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$e = 3$

Этап 1.2.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $\frac{1}{2} {(y + 2)}^{2} + 3$ .

$\frac{1}{2} {(y + 2)}^{2} + 3$

Этап 1.3

Приравняем $x$ к новой правой части.

$x = \frac{1}{2} \cdot {(y + 2)}^{2} + 3$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 3$

$k = - 2$

Этап 3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(3, - 2)$

Этап 4