Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2} + 5 x + 4}{x^{2} - 13 x + 40} \cdot \frac{x - 8}{x^{2} - 1}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} + 5 x + 4}{x^{2} - 13 x + 40}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 13 x + 40 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $x^{2} - 13 x + 40$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $40$ , а сумма — $- 13$ .

$- 8, - 5$

Этап 2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 8) (x - 5) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 8 = 0$

$x - 5 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x - 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x - 8$ к $0$ .

$x - 8 = 0$

Этап 2.3.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Этап 2.4

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 8) (x - 5) = 0$ верно.

$x = 8, 5$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{x - 8}{x^{2} - 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 1 = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 1$

Этап 4.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 4.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 4.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 4.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 4.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, 5) \cup (5, 8) \cup (8, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 1, - 1, 5, 8}$

Этап 6