Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt{3 - e^{2 x}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{3 - e^{2 x}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$3 - e^{2 x} \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$- e^{2 x} \geq - 3$

Этап 2.2

Разделим каждый член $- e^{2 x} \geq - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $- e^{2 x} \geq - 3$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- e^{2 x}}{- 1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{e^{2 x}}{1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

Этап 2.2.2.2

Разделим $e^{2 x}$ на $1$ .

$e^{2 x} \leq \frac{- 3}{- 1}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$e^{2 x} \leq 3$

Этап 2.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{2 x}) \leq \ln (3)$

Этап 2.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Развернем $\ln (e^{2 x})$ , вынося $2 x$ из логарифма.

$2 x \ln (e) \leq \ln (3)$

Этап 2.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$2 x \cdot 1 \leq \ln (3)$

Этап 2.4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 x \leq \ln (3)$

Этап 2.5

Разделим каждый член $2 x \leq \ln (3)$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Разделим каждый член $2 x \leq \ln (3)$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{\ln (3)}{2}$

Этап 2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{\ln (3)}{2}$

Этап 2.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{\ln (3)}{2}$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \frac{\ln (3)}{2}]$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq \frac{\ln (3)}{2}}$

Этап 4