Основы мат. анализа Примеры

$\frac{6 x^{2} + 12 x - 177}{x^{2} + x - 30}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6 x^{2} + 12 x - 177$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6 x^{2}$ .

$\frac{3 (2 x^{2}) + 12 x - 177}{x^{2} + x - 30}$

Этап 1.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $12 x$ .

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (4 x) - 177}{x^{2} + x - 30}$

Этап 1.1.1.3

Вынесем множитель $3$ из $- 177$ .

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (4 x) + 3 (- 59)}{x^{2} + x - 30}$

Этап 1.1.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 (2 x^{2}) + 3 (4 x)$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x) + 3 (- 59)}{x^{2} + x - 30}$

Этап 1.1.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (2 x^{2} + 4 x) + 3 (- 59)$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x - 59)}{x^{2} + x - 30}$

Этап 1.1.2

Разложим $x^{2} + x - 30$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 30$ , а сумма — $1$ .

$- 5, 6$

Этап 1.1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x - 59)}{(x - 5) (x + 6)}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x - 5}$

Этап 1.3

$\frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x + 6}$

Этап 1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x - 5) (x + 6)$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x - 59) (x - 5) (x + 6)}{(x - 5) (x + 6)} = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x - 59) (x - 5) (x + 6)}{(x - 5) (x + 6)} = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x - 59) (x + 6)}{x + 6} = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x - 59) (x + 6)}{x + 6} = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.6.2

Разделим $3 (2 x^{2} + 4 x - 59)$ на $1$ .

$3 (2 x^{2} + 4 x - 59) = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (2 x^{2}) + 3 (4 x) + 3 \cdot - 59 = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x^{2} + 3 (4 x) + 3 \cdot - 59 = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.8.2

Умножим $4$ на $3$ .

$6 x^{2} + 12 x + 3 \cdot - 59 = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.8.3

Умножим $3$ на $- 59$ .

$6 x^{2} + 12 x - 177 = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Сократим общий множитель $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1

Сократим общий множитель.

$6 x^{2} + 12 x - 177 = \frac{A (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.9.1.2

Разделим $(A) (x + 6)$ на $1$ .

$6 x^{2} + 12 x - 177 = (A) (x + 6) + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + A \cdot 6 + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.9.3

Перенесем $6$ влево от $A$ .

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + 6 \cdot A + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.9.4

Сократим общий множитель $x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.4.1

Сократим общий множитель.

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + 6 A + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.9.4.2

Разделим $(B) (x - 5)$ на $1$ .

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + 6 A + (B) (x - 5)$

Этап 1.9.5

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + 6 A + B x + B \cdot - 5$

Этап 1.9.6

Перенесем $- 5$ влево от $B$ .

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + 6 A + B x - 5 B$

Этап 1.10

Перенесем $6 A$ .

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + B x + 6 A - 5 B$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$12 = A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 177 = 6 A - 5 B$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$12 = A + B$

$- 177 = 6 A - 5 B$

$12 = A + B$

$- 177 = 6 A - 5 B$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $12 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 12$ .

$A + B = 12$

$- 177 = 6 A - 5 B$

Этап 3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 12 - B$

$- 177 = 6 A - 5 B$

$A = 12 - B$

$- 177 = 6 A - 5 B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $12 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $- 177 = 6 A - 5 B$ на $12 - B$ .

$- 177 = 6 (12 - B) - 5 B$

$A = 12 - B$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $6 (12 - B) - 5 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 177 = 6 \cdot 12 + 6 (- B) - 5 B$

$A = 12 - B$

Этап 3.2.2.1.1.2

Умножим $6$ на $12$ .

$- 177 = 72 + 6 (- B) - 5 B$

$A = 12 - B$

Этап 3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- 177 = 72 - 6 B - 5 B$

$A = 12 - B$

$- 177 = 72 - 6 B - 5 B$

$A = 12 - B$

Этап 3.2.2.1.2

Вычтем $5 B$ из $- 6 B$ .

$- 177 = 72 - 11 B$

$A = 12 - B$

$- 177 = 72 - 11 B$

$A = 12 - B$

$- 177 = 72 - 11 B$

$A = 12 - B$

$- 177 = 72 - 11 B$

$A = 12 - B$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $- 177 = 72 - 11 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $72 - 11 B = - 177$ .

$72 - 11 B = - 177$

$A = 12 - B$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $72$ из обеих частей уравнения.

$- 11 B = - 177 - 72$

$A = 12 - B$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $72$ из $- 177$ .

$- 11 B = - 249$

$A = 12 - B$

$- 11 B = - 249$

$A = 12 - B$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $- 11 B = - 249$ на $- 11$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $- 11 B = - 249$ на $- 11$ .

$\frac{- 11 B}{- 11} = \frac{- 249}{- 11}$

$A = 12 - B$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 11 B}{- 11} = \frac{- 249}{- 11}$

$A = 12 - B$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{- 249}{- 11}$

$A = 12 - B$

$B = \frac{- 249}{- 11}$

$A = 12 - B$

$B = \frac{- 249}{- 11}$

$A = 12 - B$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$B = \frac{249}{11}$

$A = 12 - B$

$B = \frac{249}{11}$

$A = 12 - B$

$B = \frac{249}{11}$

$A = 12 - B$

$B = \frac{249}{11}$

$A = 12 - B$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{249}{11}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 12 - B$ на $\frac{249}{11}$ .

$A = 12 - (\frac{249}{11})$

$B = \frac{249}{11}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $12 - (\frac{249}{11})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Чтобы записать $12$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{11}{11}$ .

$A = 12 \cdot \frac{11}{11} - \frac{249}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

Этап 3.4.2.1.2

Объединим $12$ и $\frac{11}{11}$ .

$A = \frac{12 \cdot 11}{11} - \frac{249}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

Этап 3.4.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$A = \frac{12 \cdot 11 - 249}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

Этап 3.4.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.4.1

Умножим $12$ на $11$ .

$A = \frac{132 - 249}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

Этап 3.4.2.1.4.2

Вычтем $249$ из $132$ .

$A = \frac{- 117}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

$A = \frac{- 117}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

Этап 3.4.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A = - \frac{117}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

$A = - \frac{117}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

$A = - \frac{117}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

$A = - \frac{117}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$A = - \frac{117}{11}, B = \frac{249}{11}$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x + 6}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{- \frac{117}{11}}{x - 5} + \frac{\frac{249}{11}}{x + 6}$