Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{5 x}{\sqrt{3 x^{2} - 12}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{3 x^{2} - 12}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$3 x^{2} - 12 \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $12$ к обеим частям неравенства.

$3 x^{2} \geq 12$

Этап 2.2

Разделим каждый член $3 x^{2} \geq 12$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $3 x^{2} \geq 12$ на $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} \geq \frac{12}{3}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} \geq \frac{12}{3}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \geq \frac{12}{3}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим $12$ на $3$ .

$x^{2} \geq 4$

Этап 2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{4}$

Этап 2.4

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \geq \sqrt{4}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим $\sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$| x | \geq \sqrt{2^{2}}$

Этап 2.4.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \geq | 2 |$

Этап 2.4.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$| x | \geq 2$

Этап 2.5

Запишем $| x | \geq 2$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 2.5.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \geq 2$

Этап 2.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 2.5.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \geq 2$

Этап 2.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \geq 2 & x \geq 0 \\ - x \geq 2 & x < 0 \end{cases}$

Этап 2.6

Найдем пересечение $x \geq 2$ и $x \geq 0$ .

$x \geq 2$

Этап 2.7

Разделим каждый член $- x \geq 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Разделим каждый член $- x \geq 2$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{2}{- 1}$

Этап 2.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{2}{- 1}$

Этап 2.7.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{2}{- 1}$

Этап 2.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1

Разделим $2$ на $- 1$ .

$x \leq - 2$

Этап 2.8

Найдем объединение решений.

$x \leq - 2$ или $x \geq 2$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{5 x}{\sqrt{3 x^{2} - 12}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{3 x^{2} - 12} = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{3 x^{2} - 12}}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 x^{2} - 12}$ в виде ${(3 x^{2} - 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 x^{2} - 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим ${({(3 x^{2} - 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 x^{2} - 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x^{2} - 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(3 x^{2} - 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(3 x^{2} - 12)}^{1} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Упростим.

$3 x^{2} - 12 = 0^{2}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 x^{2} - 12 = 0$

Этап 4.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$3 x^{2} = 12$

Этап 4.3.2

Разделим каждый член $3 x^{2} = 12$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Разделим каждый член $3 x^{2} = 12$ на $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Этап 4.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Этап 4.3.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{3}$

Этап 4.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Разделим $12$ на $3$ .

$x^{2} = 4$

Этап 4.3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 4.3.4

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 4.3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 4.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 4.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 4.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2) \cup (2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x < - 2, x > 2}$

Этап 6