Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{6 - 5 x^{3}}{3 x^{3} - 8 x - 5}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{6 - 5 x^{3}}{3 x^{3} - 8 x - 5}$ не определено.

$x = - 1, x = \frac{3 - \sqrt{69}}{6}, x = \frac{3 + \sqrt{69}}{6}$

Этап 2

Поскольку $\frac{6 - 5 x^{3}}{3 x^{3} - 8 x - 5}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- 1$ слева, а $\frac{6 - 5 x^{3}}{3 x^{3} - 8 x - 5}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- 1$ справа, то $x = - 1$ — вертикальная асимптота.

$x = - 1$

Этап 3

Поскольку $\frac{6 - 5 x^{3}}{3 x^{3} - 8 x - 5}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $\frac{3 - \sqrt{69}}{6}$ слева, а $\frac{6 - 5 x^{3}}{3 x^{3} - 8 x - 5}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $\frac{3 - \sqrt{69}}{6}$ справа, то $x = \frac{3 - \sqrt{69}}{6}$ — вертикальная асимптота.

$x = \frac{3 - \sqrt{69}}{6}$

Этап 4

Поскольку $\frac{6 - 5 x^{3}}{3 x^{3} - 8 x - 5}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $\frac{3 + \sqrt{69}}{6}$ слева, а $\frac{6 - 5 x^{3}}{3 x^{3} - 8 x - 5}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $\frac{3 + \sqrt{69}}{6}$ справа, то $x = \frac{3 + \sqrt{69}}{6}$ — вертикальная асимптота.

$x = \frac{3 + \sqrt{69}}{6}$

Этап 5

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = - 1, \frac{3 - \sqrt{69}}{6}, \frac{3 + \sqrt{69}}{6}$

Этап 6

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 7

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 3$

$m = 3$

Этап 8

Поскольку $n = m$ , горизонтальной асимптотой является прямая $y = \frac{a}{b}$ , где $a = - 5$ и $b = 3$ .

$y = - \frac{5}{3}$

Этап 9

Наклонной асимптоты нет, поскольку степень числителя меньше или равна степени знаменателя.

Нет наклонных асимптот

Этап 10

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 1, \frac{3 - \sqrt{69}}{6}, \frac{3 + \sqrt{69}}{6}$

Горизонтальные асимптоты: $y = - \frac{5}{3}$

Нет наклонных асимптот

Этап 11