Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 8 x^{5} - 7$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = 8 x^{5} - 7$ в виде уравнения.

$y = 8 x^{5} - 7$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 8 y^{5} - 7$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $8 y^{5} - 7 = x$ .

$8 y^{5} - 7 = x$

Этап 3.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$8 y^{5} = x + 7$

Этап 3.3

Разделим каждый член $8 y^{5} = x + 7$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $8 y^{5} = x + 7$ на $8$ .

$\frac{8 y^{5}}{8} = \frac{x}{8} + \frac{7}{8}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 y^{5}}{8} = \frac{x}{8} + \frac{7}{8}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $y^{5}$ на $1$ .

$y^{5} = \frac{x}{8} + \frac{7}{8}$

Этап 3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[5]{\frac{x}{8} + \frac{7}{8}}$

Этап 3.5

Упростим $\sqrt[5]{\frac{x}{8} + \frac{7}{8}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt[5]{\frac{x + 7}{8}}$

Этап 3.5.2

Перепишем $\sqrt[5]{\frac{x + 7}{8}}$ в виде $\frac{\sqrt[5]{x + 7}}{\sqrt[5]{8}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7}}{\sqrt[5]{8}}$

Этап 3.5.3

Умножим $\frac{\sqrt[5]{x + 7}}{\sqrt[5]{8}}$ на $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7}}{\sqrt[5]{8}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Этап 3.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Умножим $\frac{\sqrt[5]{x + 7}}{\sqrt[5]{8}}$ на $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{\sqrt[5]{8} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Этап 3.5.4.2

Возведем $\sqrt[5]{8}$ в степень $1$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Этап 3.5.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1 + 4}}$

Этап 3.5.4.4

Добавим $1$ и $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{5}}$

Этап 3.5.4.5

Перепишем ${\sqrt[5]{8}}^{5}$ в виде $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{8}$ в виде $8^{\frac{1}{5}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{(8^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Этап 3.5.4.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Этап 3.5.4.5.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $5$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

Этап 3.5.4.5.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

Этап 3.5.4.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{1}}$

Этап 3.5.4.5.5

Найдем экспоненту.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8}$

Этап 3.5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Перепишем ${\sqrt[5]{8}}^{4}$ в виде $\sqrt[5]{8^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} \sqrt[5]{8^{4}}}{8}$

Этап 3.5.5.2

Возведем $8$ в степень $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} \sqrt[5]{4096}}{8}$

Этап 3.5.5.3

Перепишем $4096$ в виде $4^{5} \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.3.1

Вынесем множитель $1024$ из $4096$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} \sqrt[5]{1024 (4)}}{8}$

Этап 3.5.5.3.2

Перепишем $1024$ в виде $4^{5}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} \sqrt[5]{4^{5} \cdot 4}}{8}$

Этап 3.5.5.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{\sqrt[5]{x + 7} \cdot 4 \sqrt[5]{4}}{8}$

Этап 3.5.5.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \frac{4 \sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}}{8}$

Этап 3.5.6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1

Сократим общий множитель $4$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}$ .

$y = \frac{4 (\sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4})}{8}$

Этап 3.5.6.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$y = \frac{4 \sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}}{4 \cdot 2}$

Этап 3.5.6.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{4 \sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}}{4 \cdot 2}$

Этап 3.5.6.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}}{2}$

Этап 3.5.6.2

Изменим порядок множителей в $\frac{\sqrt[5]{(x + 7) \cdot 4}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$ обратной к $f (x) = 8 x^{5} - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (8 x^{5} - 7)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{\sqrt[5]{4 ((8 x^{5} - 7) + 7)}}{2}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Добавим $- 7$ и $7$ .

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{\sqrt[5]{4 (8 x^{5} + 0)}}{2}$

Этап 5.2.3.2

Добавим $8 x^{5}$ и $0$ .

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{\sqrt[5]{4 \cdot (8 x^{5})}}{2}$

Этап 5.2.3.3

Умножим $4$ на $8$ .

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{\sqrt[5]{32 x^{5}}}{2}$

Этап 5.2.3.4

Перепишем $32 x^{5}$ в виде ${(2 x)}^{5}$ .

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{\sqrt[5]{{(2 x)}^{5}}}{2}$

Этап 5.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (8 x^{5} - 7) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 {(\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2})}^{5} - 7$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}^{5}}{2^{5}}) - 7$

Этап 5.3.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Перепишем ${\sqrt[5]{4 (x + 7)}}^{5}$ в виде $4 (x + 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{4 (x + 7)}$ в виде ${(4 (x + 7))}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{{({(4 (x + 7))}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{2^{5}}) - 7$

Этап 5.3.3.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{{(4 (x + 7))}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{2^{5}}) - 7$

Этап 5.3.3.2.1.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{{(4 (x + 7))}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}}) - 7$

Этап 5.3.3.2.1.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{{(4 (x + 7))}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}}) - 7$

Этап 5.3.3.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{2^{5}}) - 7$

Этап 5.3.3.2.1.5

Упростим.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{2^{5}}) - 7$

Этап 5.3.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 x + 4 \cdot 7}{2^{5}}) - 7$

Этап 5.3.3.2.3

Умножим $4$ на $7$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 x + 28}{2^{5}}) - 7$

Этап 5.3.3.2.4

Вынесем множитель $4$ из $4 x + 28$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.4.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x) + 28}{2^{5}}) - 7$

Этап 5.3.3.2.4.2

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 x + 4 \cdot 7}{2^{5}}) - 7$

Этап 5.3.3.2.4.3

Вынесем множитель $4$ из $4 x + 4 \cdot 7$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{2^{5}}) - 7$

Этап 5.3.3.3

Возведем $2$ в степень $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{32}) - 7$

Этап 5.3.3.4

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Вынесем множитель $8$ из $32$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{8 (4)}) - 7$

Этап 5.3.3.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = 8 (\frac{4 (x + 7)}{8 \cdot 4}) - 7$

Этап 5.3.3.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = \frac{4 (x + 7)}{4} - 7$

Этап 5.3.3.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = \frac{4 (x + 7)}{4} - 7$

Этап 5.3.3.5.2

Разделим $x + 7$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = x + 7 - 7$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x + 7 - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $7$ из $7$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$ — обратная к $f (x) = 8 x^{5} - 7$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 (x + 7)}}{2}$