Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 8 \sqrt[3]{x} - 4$ ; find $f^{- 1} (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = 8 \sqrt[3]{x} - 4$ в виде уравнения.

$y = 8 \sqrt[3]{x} - 4$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 8 \sqrt[3]{y} - 4$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $8 \sqrt[3]{y} - 4 = x$ .

$8 \sqrt[3]{y} - 4 = x$

Этап 3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$8 \sqrt[3]{y} = x + 4$

Этап 3.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${(8 \sqrt[3]{y})}^{3} = {(x + 4)}^{3}$

Этап 3.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{y}$ в виде $y^{\frac{1}{3}}$ .

${(8 y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 4)}^{3}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим ${(8 y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Применим правило умножения к $8 y^{\frac{1}{3}}$ .

$8^{3} {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 4)}^{3}$

Этап 3.4.2.1.2

Возведем $8$ в степень $3$ .

$512 {(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 4)}^{3}$

Этап 3.4.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$512 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 4)}^{3}$

Этап 3.4.2.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$512 y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 4)}^{3}$

Этап 3.4.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$512 y^{1} = {(x + 4)}^{3}$

Этап 3.4.2.1.4

Упростим.

$512 y = {(x + 4)}^{3}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим ${(x + 4)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$512 y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot 4 + 3 x \cdot 4^{2} + 4^{3}$

Этап 3.4.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.2.1

Умножим $4$ на $3$ .

$512 y = x^{3} + 12 x^{2} + 3 x \cdot 4^{2} + 4^{3}$

Этап 3.4.3.1.2.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$512 y = x^{3} + 12 x^{2} + 3 x \cdot 16 + 4^{3}$

Этап 3.4.3.1.2.3

Умножим $16$ на $3$ .

$512 y = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 4^{3}$

Этап 3.4.3.1.2.4

Возведем $4$ в степень $3$ .

$512 y = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64$

Этап 3.5

Разделим каждый член $512 y = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64$ на $512$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим каждый член $512 y = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64$ на $512$ .

$\frac{512 y}{512} = \frac{x^{3}}{512} + \frac{12 x^{2}}{512} + \frac{48 x}{512} + \frac{64}{512}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сократим общий множитель $512$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{512 y}{512} = \frac{x^{3}}{512} + \frac{12 x^{2}}{512} + \frac{48 x}{512} + \frac{64}{512}$

Этап 3.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{12 x^{2}}{512} + \frac{48 x}{512} + \frac{64}{512}$

Этап 3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Сократим общий множитель $12$ и $512$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $12 x^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{4 (3 x^{2})}{512} + \frac{48 x}{512} + \frac{64}{512}$

Этап 3.5.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $512$ .

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{4 (3 x^{2})}{4 (128)} + \frac{48 x}{512} + \frac{64}{512}$

Этап 3.5.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{4 (3 x^{2})}{4 \cdot 128} + \frac{48 x}{512} + \frac{64}{512}$

Этап 3.5.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{48 x}{512} + \frac{64}{512}$

Этап 3.5.3.1.2

Сократим общий множитель $48$ и $512$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.2.1

Вынесем множитель $16$ из $48 x$ .

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{16 (3 x)}{512} + \frac{64}{512}$

Этап 3.5.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $16$ из $512$ .

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{16 (3 x)}{16 (32)} + \frac{64}{512}$

Этап 3.5.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{16 (3 x)}{16 \cdot 32} + \frac{64}{512}$

Этап 3.5.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{64}{512}$

Этап 3.5.3.1.3

Сократим общий множитель $64$ и $512$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.3.1

Вынесем множитель $64$ из $64$ .

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{64 (1)}{512}$

Этап 3.5.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $64$ из $512$ .

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{64 \cdot 1}{64 \cdot 8}$

Этап 3.5.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{64 \cdot 1}{64 \cdot 8}$

Этап 3.5.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}$ обратной к $f (x) = 8 \sqrt[3]{x} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(8 \sqrt[3]{x} - 4)}^{3}}{512} + \frac{3 {(8 \sqrt[3]{x} - 4)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8 \sqrt[3]{x} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(4 (2 \sqrt[3]{x}) - 4)}^{3}}{512} + \frac{3 {(8 \sqrt[3]{x} - 4)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.1.1.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(4 (2 \sqrt[3]{x}) + 4 (- 1))}^{3}}{512} + \frac{3 {(8 \sqrt[3]{x} - 4)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.1.1.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (2 \sqrt[3]{x}) + 4 (- 1)$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(4 (2 \sqrt[3]{x} - 1))}^{3}}{512} + \frac{3 {(8 \sqrt[3]{x} - 4)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.1.1.2

Применим правило умножения к $4 (2 \sqrt[3]{x} - 1)$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{4^{3} {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{512} + \frac{3 {(8 \sqrt[3]{x} - 4)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.1.1.3

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{64 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{512} + \frac{3 {(8 \sqrt[3]{x} - 4)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общий множитель $64$ и $512$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $64$ из $64 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{64 ({(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3})}{512} + \frac{3 {(8 \sqrt[3]{x} - 4)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $64$ из $512$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{64 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{64 \cdot 8} + \frac{3 {(8 \sqrt[3]{x} - 4)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{64 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{64 \cdot 8} + \frac{3 {(8 \sqrt[3]{x} - 4)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(8 \sqrt[3]{x} - 4)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $8 \sqrt[3]{x} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(4 (2 \sqrt[3]{x}) - 4)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.1.3.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(4 (2 \sqrt[3]{x}) + 4 (- 1))}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.1.3.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (2 \sqrt[3]{x}) + 4 (- 1)$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(4 (2 \sqrt[3]{x} - 1))}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.1.3.2

Применим правило умножения к $4 (2 \sqrt[3]{x} - 1)$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 \cdot (4^{2} {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2})}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.1.3.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 \cdot (16 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2})}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.1.3.4

Умножим $3$ на $16$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{48 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.1.4

Сократим общий множитель $48$ и $128$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $48 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{16 (3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2})}{128} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.4.2.1

Вынесем множитель $16$ из $128$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{16 (3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2})}{16 (8)} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{16 (3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2})}{16 \cdot 8} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}}{8} + \frac{3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)}{32} + \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.1.5

Сократим общий множитель $8 \sqrt[3]{x} - 4$ и $32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $3 (8 \sqrt[3]{x} - 4)$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}}{8} + \frac{4 (3 (2 \sqrt[3]{x} - 1))}{32} + \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $32$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}}{8} + \frac{4 (3 (2 \sqrt[3]{x} - 1))}{4 (8)} + \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}}{8} + \frac{4 (3 (2 \sqrt[3]{x} - 1))}{4 \cdot 8} + \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3}}{8} + \frac{3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}}{8} + \frac{3 (2 \sqrt[3]{x} - 1)}{8} + \frac{1}{8}$

Этап 5.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 {(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2} + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Этап 5.2.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Перепишем ${(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{2}$ в виде $(2 \sqrt[3]{x} - 1) (2 \sqrt[3]{x} - 1)$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 ((2 \sqrt[3]{x} - 1) (2 \sqrt[3]{x} - 1)) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Этап 5.2.3.3.2

Развернем $(2 \sqrt[3]{x} - 1) (2 \sqrt[3]{x} - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (2 \sqrt[3]{x} (2 \sqrt[3]{x} - 1) - 1 (2 \sqrt[3]{x} - 1)) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Этап 5.2.3.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (2 \sqrt[3]{x} (2 \sqrt[3]{x}) + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x} - 1)) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Этап 5.2.3.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (2 \sqrt[3]{x} (2 \sqrt[3]{x}) + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Этап 5.2.3.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.3.1.1

Умножим $2 \sqrt[3]{x} (2 \sqrt[3]{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.3.1.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Этап 5.2.3.3.3.1.1.2

Возведем $\sqrt[3]{x}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Этап 5.2.3.3.3.1.1.3

Возведем $\sqrt[3]{x}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Этап 5.2.3.3.3.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 {\sqrt[3]{x}}^{1 + 1} + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Этап 5.2.3.3.3.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 {\sqrt[3]{x}}^{2} + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Этап 5.2.3.3.3.1.2

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x^{2}} + 2 \sqrt[3]{x} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Этап 5.2.3.3.3.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} - 1 (2 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Этап 5.2.3.3.3.1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} - 2 \sqrt[3]{x} - 1 \cdot - 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Этап 5.2.3.3.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} - 2 \sqrt[3]{x} + 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Этап 5.2.3.3.3.2

Вычтем $2 \sqrt[3]{x}$ из $- 2 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x^{2}} - 4 \sqrt[3]{x} + 1) + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Этап 5.2.3.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 3 (4 \sqrt[3]{x^{2}}) + 3 (- 4 \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot 1 + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Этап 5.2.3.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.5.1

Умножим $4$ на $3$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 (- 4 \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot 1 + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Этап 5.2.3.3.5.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 3 \cdot 1 + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Этап 5.2.3.3.5.3

Умножим $3$ на $1$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 3 + 3 (2 \sqrt[3]{x} - 1) + 1}{8}$

Этап 5.2.3.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 3 + 3 (2 \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot - 1 + 1}{8}$

Этап 5.2.3.3.7

Умножим $2$ на $3$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 3 + 6 \sqrt[3]{x} + 3 \cdot - 1 + 1}{8}$

Этап 5.2.3.3.8

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 3 + 6 \sqrt[3]{x} - 3 + 1}{8}$

Этап 5.2.3.4

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Объединим противоположные члены в ${(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 3 + 6 \sqrt[3]{x} - 3 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 0 + 6 \sqrt[3]{x} + 1}{8}$

Этап 5.2.3.4.1.2

Добавим ${(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x}$ и $0$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 6 \sqrt[3]{x} + 1}{8}$

Этап 5.2.3.4.2

Добавим $- 12 \sqrt[3]{x}$ и $6 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 6 \sqrt[3]{x} + 1}{8}$

Этап 5.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 6 \sqrt[3]{x} + 1}{8}$

Этап 5.2.4.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 \sqrt[3]{x} + 1}{8}$

Этап 5.2.4.3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Этап 5.2.4.4

Воспользуемся бином Ньютона.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Этап 5.2.4.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.5.1

Применим правило умножения к $2 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{2^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Этап 5.2.4.5.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Этап 5.2.4.5.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.5.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Этап 5.2.4.5.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.5.3.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.2.4.5.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x + 3 {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Этап 5.2.4.5.4

Упростим.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x + 3 {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Этап 5.2.4.5.5

Применим правило умножения к $2 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x + 3 (2^{2} {(x^{\frac{1}{3}})}^{2}) \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Этап 5.2.4.5.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x + 3 (4 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2}) \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Этап 5.2.4.5.7

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.5.7.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x + 3 (4 x^{\frac{1}{3} \cdot 2}) \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Этап 5.2.4.5.7.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $2$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x + 3 (4 x^{\frac{2}{3}}) \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Этап 5.2.4.5.8

Умножим $4$ на $3$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x + 12 x^{\frac{2}{3}} \cdot - 1 + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Этап 5.2.4.5.9

Умножим $- 1$ на $12$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x - 12 x^{\frac{2}{3}} + 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Этап 5.2.4.5.10

Умножим $2$ на $3$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x - 12 x^{\frac{2}{3}} + 6 x^{\frac{1}{3}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Этап 5.2.4.5.11

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x - 12 x^{\frac{2}{3}} + 6 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Этап 5.2.4.5.12

Умножим $6$ на $1$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x - 12 x^{\frac{2}{3}} + 6 x^{\frac{1}{3}} + {(- 1)}^{3} + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Этап 5.2.4.5.13

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x - 12 x^{\frac{2}{3}} + 6 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 12 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Этап 5.2.4.6

Добавим $- 12 x^{\frac{2}{3}}$ и $12 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x + 6 x^{\frac{1}{3}} - 1 + 0 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Этап 5.2.4.7

Добавим $8 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x + 6 x^{\frac{1}{3}} - 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 1}{8}$

Этап 5.2.4.8

Вычтем $6 x^{\frac{1}{3}}$ из $6 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x + 0 - 1 + 1}{8}$

Этап 5.2.4.9

Добавим $8 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x - 1 + 1}{8}$

Этап 5.2.4.10

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x + 0}{8}$

Этап 5.2.4.11

Добавим $8 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x}{8}$

Этап 5.2.5

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = \frac{8 x}{8}$

Этап 5.2.5.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (8 \sqrt[3]{x} - 4) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}} - 4$

Этап 5.3.3

Избавимся от скобок.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}} - 4$

Этап 5.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Чтобы записать $\frac{3 x^{2}}{128}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}} - 4$

Этап 5.3.4.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $512$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Умножим $\frac{3 x^{2}}{128}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2} \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}} - 4$

Этап 5.3.4.2.2

Умножим $128$ на $4$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2} \cdot 4}{512} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}} - 4$

Этап 5.3.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 x^{2} \cdot 4}{512} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}} - 4$

Этап 5.3.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3} + 3 x^{2} \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 4}{512} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}} - 4$

Этап 5.3.4.4.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{2} \cdot 4$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{2} x + x^{2} (3 \cdot 4)}{512} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}} - 4$

Этап 5.3.4.4.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x + x^{2} (3 \cdot 4)$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 3 \cdot 4)}{512} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}} - 4$

Этап 5.3.4.4.2

Умножим $3$ на $4$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 12)}{512} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}} - 4$

Этап 5.3.4.5

Чтобы записать $\frac{3 x}{32}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 12)}{512} + \frac{3 x}{32} \cdot \frac{16}{16} + \frac{1}{8}} - 4$

Этап 5.3.4.6

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $512$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.6.1

Умножим $\frac{3 x}{32}$ на $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 12)}{512} + \frac{3 x \cdot 16}{32 \cdot 16} + \frac{1}{8}} - 4$

Этап 5.3.4.6.2

Умножим $32$ на $16$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 12)}{512} + \frac{3 x \cdot 16}{512} + \frac{1}{8}} - 4$

Этап 5.3.4.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{2} (x + 12) + 3 x \cdot 16}{512} + \frac{1}{8}} - 4$

Этап 5.3.4.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.8.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (x + 12) + 3 x \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.8.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (x + 12)$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x (x (x + 12)) + 3 x \cdot 16}{512} + \frac{1}{8}} - 4$

Этап 5.3.4.8.1.2

Вынесем множитель $x$ из $3 x \cdot 16$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x (x (x + 12)) + x (3 \cdot 16)}{512} + \frac{1}{8}} - 4$

Этап 5.3.4.8.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (x (x + 12)) + x (3 \cdot 16)$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x (x (x + 12) + 3 \cdot 16)}{512} + \frac{1}{8}} - 4$

Этап 5.3.4.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x (x \cdot x + x \cdot 12 + 3 \cdot 16)}{512} + \frac{1}{8}} - 4$

Этап 5.3.4.8.3

Умножим $x$ на $x$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + x \cdot 12 + 3 \cdot 16)}{512} + \frac{1}{8}} - 4$

Этап 5.3.4.8.4

Перенесем $12$ влево от $x$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 12 \cdot x + 3 \cdot 16)}{512} + \frac{1}{8}} - 4$

Этап 5.3.4.8.5

Умножим $3$ на $16$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 12 x + 48)}{512} + \frac{1}{8}} - 4$

Этап 5.3.4.9

Чтобы записать $\frac{1}{8}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{64}{64}$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 12 x + 48)}{512} + \frac{1}{8} \cdot \frac{64}{64}} - 4$

Этап 5.3.4.10

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $512$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.10.1

Умножим $\frac{1}{8}$ на $\frac{64}{64}$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 12 x + 48)}{512} + \frac{64}{8 \cdot 64}} - 4$

Этап 5.3.4.10.2

Умножим $8$ на $64$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 12 x + 48)}{512} + \frac{64}{512}} - 4$

Этап 5.3.4.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + 12 x + 48) + 64}{512}} - 4$

Этап 5.3.4.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x \cdot x^{2} + x (12 x) + x \cdot 48 + 64}{512}} - 4$

Этап 5.3.4.12.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.12.2.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.12.2.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.12.2.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x \cdot x^{2} + x (12 x) + x \cdot 48 + 64}{512}} - 4$

Этап 5.3.4.12.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{1 + 2} + x (12 x) + x \cdot 48 + 64}{512}} - 4$

Этап 5.3.4.12.2.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + x (12 x) + x \cdot 48 + 64}{512}} - 4$

Этап 5.3.4.12.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 12 x \cdot x + x \cdot 48 + 64}{512}} - 4$

Этап 5.3.4.12.2.3

Перенесем $48$ влево от $x$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 12 x \cdot x + 48 \cdot x + 64}{512}} - 4$

Этап 5.3.4.12.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.12.3.1

Перенесем $x$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 12 (x \cdot x) + 48 \cdot x + 64}{512}} - 4$

Этап 5.3.4.12.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 12 x^{2} + 48 \cdot x + 64}{512}} - 4$

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64}{512}} - 4$

Этап 5.3.4.12.4

Перепишем $x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.12.4.1

Перегруппируем члены.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 64 + 12 x^{2} + 48 x}{512}} - 4$

Этап 5.3.4.12.4.2

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 4^{3} + 12 x^{2} + 48 x}{512}} - 4$

Этап 5.3.4.12.4.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) (x^{2} - x \cdot 4 + 4^{2}) + 12 x^{2} + 48 x}{512}} - 4$

Этап 5.3.4.12.4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.12.4.4.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 4^{2}) + 12 x^{2} + 48 x}{512}} - 4$

Этап 5.3.4.12.4.4.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + 12 x^{2} + 48 x}{512}} - 4$

Этап 5.3.4.12.4.5

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x^{2} + 48 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.12.4.5.1

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x^{2}$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + 12 x (x) + 48 x}{512}} - 4$

Этап 5.3.4.12.4.5.2

Вынесем множитель $12 x$ из $48 x$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + 12 x (x) + 12 x (4)}{512}} - 4$

Этап 5.3.4.12.4.5.3

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x (x) + 12 x (4)$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + 12 x (x + 4)}{512}} - 4$

Этап 5.3.4.12.4.6

Вынесем множитель $x + 4$ из $(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + 12 x (x + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.12.4.6.1

Вынесем множитель $x + 4$ из $12 x (x + 4)$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + (x + 4) (12 x)}{512}} - 4$

Этап 5.3.4.12.4.6.2

Вынесем множитель $x + 4$ из $(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) + (x + 4) (12 x)$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16 + 12 x)}{512}} - 4$

Этап 5.3.4.12.4.7

Добавим $- 4 x$ и $12 x$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) (x^{2} + 8 x + 16)}{512}} - 4$

Этап 5.3.4.12.4.8

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.12.4.8.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) (x^{2} + 8 x + 4^{2})}{512}} - 4$

Этап 5.3.4.12.4.8.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Этап 5.3.4.12.4.8.3

Перепишем многочлен.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})}{512}} - 4$

Этап 5.3.4.12.4.8.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) {(x + 4)}^{2}}{512}} - 4$

Этап 5.3.4.13

Умножим $x + 4$ на ${(x + 4)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.13.1

Умножим $x + 4$ на ${(x + 4)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.13.1.1

Возведем $x + 4$ в степень $1$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{(x + 4) {(x + 4)}^{2}}{512}} - 4$

Этап 5.3.4.13.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{{(x + 4)}^{1 + 2}}{512}} - 4$

Этап 5.3.4.13.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{{(x + 4)}^{3}}{512}} - 4$

Этап 5.3.4.14

Перепишем $512$ в виде $8^{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{\frac{{(x + 4)}^{3}}{8^{3}}} - 4$

Этап 5.3.4.15

Перепишем $\frac{{(x + 4)}^{3}}{8^{3}}$ в виде ${(\frac{x + 4}{8})}^{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 \sqrt[3]{{(\frac{x + 4}{8})}^{3}} - 4$

Этап 5.3.4.16

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 (\frac{x + 4}{8}) - 4$

Этап 5.3.4.17

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.17.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = 8 (\frac{x + 4}{8}) - 4$

Этап 5.3.4.17.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = x + 4 - 4$

Этап 5.3.5

Объединим противоположные члены в $x + 4 - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Вычтем $4$ из $4$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = x + 0$

Этап 5.3.5.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}$ — обратная к $f (x) = 8 \sqrt[3]{x} - 4$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{512} + \frac{3 x^{2}}{128} + \frac{3 x}{32} + \frac{1}{8}$