Основы мат. анализа Примеры

$y = x^{2} + 2 x - 1$

Этап 1

Запишем $y = x^{2} + 2 x - 1$ в виде функции.

$f (x) = x^{2} + 2 x - 1$

Этап 2

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 3

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 2 (x + h) - 1$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = (x + h) (x + h) + 2 (x + h) - 1$

Этап 3.1.2.1.2

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) + 2 (x + h) - 1$

Этап 3.1.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) + 2 (x + h) - 1$

Этап 3.1.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 2 (x + h) - 1$

Этап 3.1.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 2 (x + h) - 1$

Этап 3.1.2.1.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 2 (x + h) - 1$

Этап 3.1.2.1.3.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} + 2 (x + h) - 1$

Этап 3.1.2.1.3.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 (x + h) - 1$

Этап 3.1.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 x + 2 h - 1$

Этап 3.1.2.2

Окончательный ответ: $x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 x + 2 h - 1$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 x + 2 h - 1$

Этап 3.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем $2 x$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h + 2 x - 1$

Этап 3.2.2

Перенесем $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 2 h + 2 x - 1$

Этап 3.2.3

Изменим порядок $2 h x$ и $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x - 1$

Этап 3.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x - 1$

$f (x) = x^{2} + 2 x - 1$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x - 1$

$f (x) = x^{2} + 2 x - 1$

Этап 4

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x - 1 - (x^{2} + 2 x - 1)}{h}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x - 1 - x^{2} - (2 x) - - 1}{h}$

Этап 5.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x - 1 - x^{2} - 2 x - - 1}{h}$

Этап 5.1.2.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x - 1 - x^{2} - 2 x + 1}{h}$

Этап 5.1.3

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 2 h + 2 x - 1 + 0 - 2 x + 1}{h}$

Этап 5.1.4

Добавим $h^{2}$ и $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 2 h + 2 x - 1 - 2 x + 1}{h}$

Этап 5.1.5

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 2 h + 0 - 1 + 1}{h}$

Этап 5.1.6

Добавим $h^{2}$ и $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 2 h - 1 + 1}{h}$

Этап 5.1.7

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 2 h + 0}{h}$

Этап 5.1.8

Добавим $h^{2} + 2 h x + 2 h$ и $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 2 h}{h}$

Этап 5.1.9

Вынесем множитель $h$ из $h^{2} + 2 h x + 2 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.9.1

Вынесем множитель $h$ из $h^{2}$ .

$\frac{h \cdot h + 2 h x + 2 h}{h}$

Этап 5.1.9.2

Вынесем множитель $h$ из $2 h x$ .

$\frac{h (h) + h (2 x) + 2 h}{h}$

Этап 5.1.9.3

Вынесем множитель $h$ из $2 h$ .

$\frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 2}{h}$

Этап 5.1.9.4

Вынесем множитель $h$ из $h (h) + h (2 x)$ .

$\frac{h (h + 2 x) + h \cdot 2}{h}$

Этап 5.1.9.5

Вынесем множитель $h$ из $h (h + 2 x) + h \cdot 2$ .

$\frac{h (h + 2 x + 2)}{h}$

Этап 5.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (h + 2 x + 2)}{h}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $h + 2 x + 2$ на $1$ .

$h + 2 x + 2$

Этап 5.2.2

Изменим порядок $h$ и $2 x$ .

$2 x + h + 2$

Этап 6