Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt{9 - \sqrt{- x}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{- x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$- x \geq 0$

Этап 2

Разделим каждый член $- x \geq 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $- x \geq 0$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$x \leq 0$

Этап 3

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{9 - \sqrt{- x}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$9 - \sqrt{- x} \geq 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $9$ из обеих частей неравенства.

$- \sqrt{- x} \geq - 9$

Этап 4.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${(- \sqrt{- x})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Этап 4.3

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{- x}$ в виде ${(- x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим ${(- {(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Применим правило умножения к $- x$ .

${(- ({(- 1)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1

Перенесем ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.2.2

Умножим ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

${({(- 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot {(- 1)}^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${({(- 1)}^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

${({(- 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

${({(- 1)}^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.2.5

Добавим $1$ и $2$ .

${({(- 1)}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.3

Перепишем ${(- 1)}^{\frac{3}{2}}$ в виде $\sqrt{{(- 1)}^{3}}$ .

${(\sqrt{{(- 1)}^{3}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.4

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

${(\sqrt{- 1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

${(i x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.6

Применим правило умножения к $i x^{\frac{1}{2}}$ .

$i^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.7

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 9)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.8

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.8.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 9)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.8.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.8.2.1

Сократим общий множитель.

$- x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 9)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.8.2.2

Перепишем это выражение.

$- x^{1} \geq {(- 9)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.9

Упростим.

$- x \geq {(- 9)}^{2}$

Этап 4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$- x \geq 81$

Этап 4.4

Разделим каждый член $- x \geq 81$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Разделим каждый член $- x \geq 81$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{81}{- 1}$

Этап 4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{81}{- 1}$

Этап 4.4.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{81}{- 1}$

Этап 4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Разделим $81$ на $- 1$ .

$x \leq - 81$

Этап 4.5

Найдем область определения $9 - \sqrt{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{- x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$- x \geq 0$

Этап 4.5.2

Разделим каждый член $- x \geq 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 4.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 4.5.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 4.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$x \leq 0$

Этап 4.5.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0]$

Этап 4.6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 81$

$- 81 < x < 0$

$x > 0$

Этап 4.7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Проверим значение на интервале $x < - 81$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 81$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 84$

Этап 4.7.1.2

Заменим $x$ на $- 84$ в исходном неравенстве.

$9 - \sqrt{- (- 84)} \geq 0$

Этап 4.7.1.3

Левая часть $- 0.16515138$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 4.7.2

Проверим значение на интервале $- 81 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Выберем значение на интервале $- 81 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 4.7.2.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$9 - \sqrt{- (- 2)} \geq 0$

Этап 4.7.2.3

Левая часть $7.58578643$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 4.7.3

Проверим значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.3.1

Выберем значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 4.7.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$9 - \sqrt{- (2)} \geq 0$

Этап 4.7.3.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 4.7.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 81$ Ложь

$- 81 < x < 0$ Истина

$x > 0$ Ложь

$x < - 81$ Ложь

$- 81 < x < 0$ Истина

$x > 0$ Ложь

Этап 4.8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 81 \leq x \leq 0$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 81, 0]$

Обозначение построения множества:

${x | - 81 \leq x \leq 0}$

Этап 6