Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{{(y - 7)}^{2}}{15} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{{(y - 7)}^{2}}{15} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = \sqrt{15}$

$b = 2 \sqrt{3}$

$k = 7$

$h = 0$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(0, 7)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(\sqrt{15})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем ${\sqrt{15}}^{2}$ в виде $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{15}$ в виде $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 5.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{15^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 5.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{15^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 5.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{15^{1} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 5.3.1.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{15 - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{15 - (2^{2} {\sqrt{3}}^{2})}$

Этап 5.3.2.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{15 - (4 {\sqrt{3}}^{2})}$

Этап 5.3.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{15 - (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Этап 5.3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Этап 5.3.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}$

Этап 5.3.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}$

Этап 5.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{1})}$

Этап 5.3.3.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{15 - (4 \cdot 3)}$

Этап 5.3.4

Умножим $- (4 \cdot 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Умножим $4$ на $3$ .

$\sqrt{15 - 1 \cdot 12}$

Этап 5.3.4.2

Умножим $- 1$ на $12$ .

$\sqrt{15 - 12}$

Этап 5.3.5

Вычтем $12$ из $15$ .

$\sqrt{3}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0, 7 + \sqrt{15})$

Этап 6.3

Вторую вершину эллипса можно найти путем вычитания $a$ из $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0, 7 - (\sqrt{15}))$

Этап 6.5

Упростим.

$(0, 7 - \sqrt{15})$

Этап 6.6

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{15})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{15})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{15})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{15})$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0, 7 + \sqrt{3})$

Этап 7.3

Первый фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0, 7 - (\sqrt{3}))$

Этап 7.5

Упростим.

$(0, 7 - \sqrt{3})$

Этап 7.6

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{3})$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{15})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Перепишем ${\sqrt{15}}^{2}$ в виде $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{15}$ в виде $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Этап 8.3.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Этап 8.3.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{15^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Этап 8.3.1.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{15^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Этап 8.3.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{15^{1} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Этап 8.3.1.1.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{15 - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Этап 8.3.1.2

Применим правило умножения к $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{15 - (2^{2} {\sqrt{3}}^{2})}}{\sqrt{15}}$

Этап 8.3.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{15 - (4 {\sqrt{3}}^{2})}}{\sqrt{15}}$

Этап 8.3.1.4

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{15 - (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{\sqrt{15}}$

Этап 8.3.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{\sqrt{15}}$

Этап 8.3.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}}{\sqrt{15}}$

Этап 8.3.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}}{\sqrt{15}}$

Этап 8.3.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{15 - (4 \cdot 3^{1})}}{\sqrt{15}}$

Этап 8.3.1.4.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{15 - (4 \cdot 3)}}{\sqrt{15}}$

Этап 8.3.1.5

Умножим $- (4 \cdot 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.5.1

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{15 - 1 \cdot 12}}{\sqrt{15}}$

Этап 8.3.1.5.2

Умножим $- 1$ на $12$ .

$\frac{\sqrt{15 - 12}}{\sqrt{15}}$

Этап 8.3.1.6

Вычтем $12$ из $15$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}}$

Этап 8.3.2

Объединим $\sqrt{3}$ и $\sqrt{15}$ под одним знаком корня.

$\sqrt{\frac{3}{15}}$

Этап 8.3.3

Сократим общий множитель $3$ и $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\sqrt{\frac{3 (1)}{15}}$

Этап 8.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5}}$

Этап 8.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5}}$

Этап 8.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{1}{5}}$

Этап 8.3.4

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$

Этап 8.3.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{5}}$

Этап 8.3.6

Умножим $\frac{1}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Этап 8.3.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 8.3.7.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Этап 8.3.7.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Этап 8.3.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 8.3.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 8.3.7.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.3.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.3.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Этап 8.3.7.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(0, 7)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{15})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{15})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 7 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 7 - \sqrt{3})$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{5}}{5}$

Этап 10