Основы мат. анализа Примеры

$x^{3} + x^{2} - 10 x + 8$ , $x - 2$

Этап 1

Разделим $\frac{x^{3} + x^{2} - 10 x + 8}{x - 2}$ , используя схему Горнера, и проверим, равен ли остаток $0$ . Если остаток равен $0$ , это означает, что $x - 2$ является множителем для $x^{3} + x^{2} - 10 x + 8$ . Если остаток не равен $0$ , это означает, что $x - 2$ не является множителем для $x^{3} + x^{2} - 10 x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$2$	$1$	$1$	$- 10$	$8$

Этап 1.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$2$	$1$	$1$	$- 10$	$8$

	$1$

Этап 1.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(2)$ под следующим членом делимого $(1)$ .

$2$	$1$	$1$	$- 10$	$8$
		$2$
	$1$

Этап 1.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$1$	$1$	$- 10$	$8$
		$2$
	$1$	$3$

Этап 1.5

Умножим последний элемент в области результата $(3)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(6)$ под следующим членом делимого $(- 10)$ .

$2$	$1$	$1$	$- 10$	$8$
		$2$	$6$
	$1$	$3$

Этап 1.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$1$	$1$	$- 10$	$8$
		$2$	$6$
	$1$	$3$	$- 4$

Этап 1.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 4)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(- 8)$ под следующим членом делимого $(8)$ .

$2$	$1$	$1$	$- 10$	$8$
		$2$	$6$	$- 8$
	$1$	$3$	$- 4$

Этап 1.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$1$	$1$	$- 10$	$8$
		$2$	$6$	$- 8$
	$1$	$3$	$- 4$	$0$

Этап 1.9

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{2} + 3 x - 4$

Этап 1.10

Упростим частное многочленов.

$x^{2} + 3 x - 4$

Этап 2

Остаток от деления $\frac{x^{3} + x^{2} - 10 x + 8}{x - 2}$ равен $0$ , значит, $x - 2$ является делителем $x^{3} + x^{2} - 10 x + 8$ .

$x - 2$ — множитель для $x^{3} + x^{2} - 10 x + 8$

Этап 3

Найдем все возможные корни для $x^{2} + 3 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 3.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

Этап 4

Выпишем следующее деление, чтобы определить, является ли $x - 1$ множителем полинома $x^{2} + 3 x - 4$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 4}{x - 1}$

Этап 5

Разделим выражение с помощью схемы Горнера, чтобы определить, является ли оно делителем многочлена. Поскольку $x^{2} + 3 x - 4$ делится без остатка на $x - 1$ , то $x - 1$ является делителем этого многочлена. Остается многочлен $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$1$	$1$	$3$	$- 4$

Этап 5.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$1$	$1$	$3$	$- 4$

	$1$

Этап 5.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(1)$ под следующим членом делимого $(3)$ .

$1$	$1$	$3$	$- 4$
		$1$
	$1$

Этап 5.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$3$	$- 4$
		$1$
	$1$	$4$

Этап 5.5

Умножим последний элемент в области результата $(4)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(4)$ под следующим членом делимого $(- 4)$ .

$1$	$1$	$3$	$- 4$
		$1$	$4$
	$1$	$4$

Этап 5.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$3$	$- 4$
		$1$	$4$
	$1$	$4$	$0$

Этап 5.7

$(1) x + 4$

Этап 5.8

Упростим частное многочленов.

$x + 4$

Этап 6

Последний множитель ― это единственный множитель, остающийся при разложении многочлена по схеме Горнера.

$x + 4$

Этап 7

Многочлен, разложенный на множители: $(x - 2) (x - 1) (x + 4)$ .

$(x - 2) (x - 1) (x + 4)$