Основы мат. анализа Примеры

$(a + b - \frac{2 a b}{a + b}) \div (\frac{a - b}{a + b} + \frac{b}{a})$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{2 a b}{a + b}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$a + b = 0$

Этап 2

Вычтем $b$ из обеих частей уравнения.

$a = - b$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{b}{a}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$a = 0$

Этап 4

Зададим знаменатель в $(a + b - \frac{2 a b}{a + b}) \div (\frac{a - b}{a + b} + \frac{b}{a})$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\frac{a - b}{a + b} + \frac{b}{a} = 0$

Этап 5

Решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$a + b, a, 1$

Этап 5.1.2

Поскольку $a + b, a, 1$ содержит как числа, так и переменные, для нахождения наименьшего общего кратного требуется четыре этапа. Найдем наименьшее общее кратное для числовой, переменной и составной переменной частей. Затем перемножим их.

Этапы поиска НОК для $a + b, a, 1$ :

1. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 1$ .

2. Найдем НОК для переменной части $a^{1}$ .

3. Найдем НОК для составной переменной части $a + b$ .

4. Перемножим все НОК.

Этап 5.1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 5.1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 5.1.5

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 5.1.6

Множителем $a^{1}$ является само значение $a$ .

$a^{1} = a$

$a$ встречается $1$ раз.

Этап 5.1.7

НОК $a^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$a$

Этап 5.1.8

Множителем $a + b$ является само значение $a + b$ .

$(a + b) = a + b$

$(a + b)$ встречается $1$ раз.

Этап 5.1.9

НОК $a + b$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$a + b$

Этап 5.1.10

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$a (a + b)$

Этап 5.2

Каждый член в $\frac{a - b}{a + b} + \frac{b}{a} = 0$ умножим на $a (a + b)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим каждый член $\frac{a - b}{a + b} + \frac{b}{a} = 0$ на $a (a + b)$ .

$\frac{a - b}{a + b} (a (a + b)) + \frac{b}{a} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель $a + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $a + b$ из $a (a + b)$ .

$\frac{a - b}{a + b} ((a + b) a) + \frac{b}{a} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Этап 5.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{a - b}{a + b} ((a + b) a) + \frac{b}{a} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Этап 5.2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$(a - b) a + \frac{b}{a} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Этап 5.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$a \cdot a - b a + \frac{b}{a} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Этап 5.2.2.1.3

Умножим $a$ на $a$ .

$a^{2} - b a + \frac{b}{a} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Этап 5.2.2.1.4

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$a^{2} - b a + \frac{b}{a} (a (a + b)) = 0 (a (a + b))$

Этап 5.2.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$a^{2} - b a + b (a + b) = 0 (a (a + b))$

Этап 5.2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$a^{2} - b a + b a + b \cdot b = 0 (a (a + b))$

Этап 5.2.2.1.6

Умножим $b$ на $b$ .

$a^{2} - b a + b a + b^{2} = 0 (a (a + b))$

Этап 5.2.2.2

Объединим противоположные члены в $a^{2} - b a + b a + b^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Добавим $- b a$ и $b a$ .

$a^{2} + 0 + b^{2} = 0 (a (a + b))$

Этап 5.2.2.2.2

Добавим $a^{2}$ и $0$ .

$a^{2} + b^{2} = 0 (a (a + b))$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$a^{2} + b^{2} = 0 (a \cdot a + a b)$

Этап 5.2.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Умножим $a$ на $a$ .

$a^{2} + b^{2} = 0 (a^{2} + a b)$

Этап 5.2.3.2.2

Умножим $0$ на $a^{2} + a b$ .

$a^{2} + b^{2} = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $b^{2}$ из обеих частей уравнения.

$a^{2} = - b^{2}$

Этап 5.3.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$a = \pm \sqrt{- b^{2}}$

Этап 5.3.3

Упростим $\pm \sqrt{- b^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Изменим порядок $- 1$ и $b^{2}$ .

$a = \pm \sqrt{b^{2} \cdot - 1}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$a = \pm b \sqrt{- 1}$

Этап 5.3.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$a = \pm b i$

Этап 5.3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$a = b i$

Этап 5.3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$a = - b i$

Этап 5.3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$a = b i$

$a = - b i$

$a = b i$

$a = - b i$

$a = b i$

$a = - b i$

$a = b i$

$a = - b i$

Этап 6

Область определения ― это все значения $a$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${a | a \neq 0}$