Основы мат. анализа Примеры

$f (n) = n^{2} + 3 n$ $g (n) = - n - 3$ Find $f (g (3))$

Этап 1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (g (n))$

Этап 2

Найдем значение $f (- n - 3)$ , подставив значение $g$ в $f$ .

$f (- n - 3) = {(- n - 3)}^{2} + 3 (- n - 3)$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем ${(- n - 3)}^{2}$ в виде $(- n - 3) (- n - 3)$ .

$f (- n - 3) = (- n - 3) (- n - 3) + 3 (- n - 3)$

Этап 3.2

Развернем $(- n - 3) (- n - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- n - 3) = - n (- n - 3) - 3 (- n - 3) + 3 (- n - 3)$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- n - 3) = - n (- n) - n \cdot - 3 - 3 (- n - 3) + 3 (- n - 3)$

Этап 3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- n - 3) = - n (- n) - n \cdot - 3 - 3 (- n) - 3 \cdot - 3 + 3 (- n - 3)$

Этап 3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (- n - 3) = - 1 \cdot (- 1 n \cdot n) - n \cdot - 3 - 3 (- n) - 3 \cdot - 3 + 3 (- n - 3)$

Этап 3.3.1.2

Умножим $n$ на $n$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Перенесем $n$ .

$f (- n - 3) = - 1 \cdot (- 1 (n \cdot n)) - n \cdot - 3 - 3 (- n) - 3 \cdot - 3 + 3 (- n - 3)$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $n$ на $n$ .

$f (- n - 3) = - 1 \cdot (- 1 n^{2}) - n \cdot - 3 - 3 (- n) - 3 \cdot - 3 + 3 (- n - 3)$

Этап 3.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- n - 3) = 1 n^{2} - n \cdot - 3 - 3 (- n) - 3 \cdot - 3 + 3 (- n - 3)$

Этап 3.3.1.4

Умножим $n^{2}$ на $1$ .

$f (- n - 3) = n^{2} - n \cdot - 3 - 3 (- n) - 3 \cdot - 3 + 3 (- n - 3)$

Этап 3.3.1.5

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$f (- n - 3) = n^{2} + 3 n - 3 (- n) - 3 \cdot - 3 + 3 (- n - 3)$

Этап 3.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$f (- n - 3) = n^{2} + 3 n + 3 n - 3 \cdot - 3 + 3 (- n - 3)$

Этап 3.3.1.7

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$f (- n - 3) = n^{2} + 3 n + 3 n + 9 + 3 (- n - 3)$

Этап 3.3.2

Добавим $3 n$ и $3 n$ .

$f (- n - 3) = n^{2} + 6 n + 9 + 3 (- n - 3)$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- n - 3) = n^{2} + 6 n + 9 + 3 (- n) + 3 \cdot - 3$

Этап 3.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (- n - 3) = n^{2} + 6 n + 9 - 3 n + 3 \cdot - 3$

Этап 3.6

Умножим $3$ на $- 3$ .

$f (- n - 3) = n^{2} + 6 n + 9 - 3 n - 9$

Этап 4

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим противоположные члены в $n^{2} + 6 n + 9 - 3 n - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $9$ из $9$ .

$f (- n - 3) = n^{2} + 6 n - 3 n + 0$

Этап 4.1.2

Добавим $n^{2} + 6 n - 3 n$ и $0$ .

$f (- n - 3) = n^{2} + 6 n - 3 n$

Этап 4.2

Вычтем $3 n$ из $6 n$ .

$f (- n - 3) = n^{2} + 3 n$

Этап 5

Найдем значение результирующей функции, заменив $n$ на $3$ в функции.

${(3)}^{2} + 3 (3)$

Этап 6

Упростим найденную функцию.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$9 + 3 (3)$

Этап 6.1.2

Умножим $3$ на $3$ .

$9 + 9$

Этап 6.2

Добавим $9$ и $9$ .

$18$