Основы мат. анализа Примеры

$y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$

Этап 1

Вертикальные асимптоты функции $y = \csc (x)$ находятся в точках $x = n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(0, 2 π)$ для $y = c s c (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ . Положив аргумент косеканса, $b x + c$ , равным $0$ в выражении $y = a \csc (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{3} = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $\frac{π}{3}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{3}$

Этап 2.2

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{3}$

Этап 2.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{3}$

Этап 2.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 \frac{π}{3}$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 3

Выражение внутри косеканса $\frac{x}{2} - \frac{π}{3}$ приравняем $2 π$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{3} = 2 π$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Добавим $\frac{π}{3}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{3}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = 2 π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 4.1.3

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 3 + π}{3}$

Этап 4.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{6 π + π}{3}$

Этап 4.1.5.2

Добавим $6 π$ и $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{7 π}{3}$

Этап 4.2

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{7 π}{3}$

Этап 4.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{7 π}{3}$

Этап 4.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 \frac{7 π}{3}$

Этап 4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $2 \frac{7 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Объединим $2$ и $\frac{7 π}{3}$ .

$x = \frac{2 (7 π)}{3}$

Этап 4.3.2.1.2

Умножим $7$ на $2$ .

$x = \frac{14 π}{3}$

Этап 5

Основной период $y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ находится на промежутке $(\frac{2 π}{3}, \frac{14 π}{3})$ , где $\frac{2 π}{3}$ и $\frac{14 π}{3}$ являются вертикальными асимптотами.

$(\frac{2 π}{3}, \frac{14 π}{3})$

Этап 6

Найдем период $\frac{2 π}{| b |}$ , чтобы узнать, где существуют вертикальные асимптоты. Вертикальные асимптоты встречаются каждую половину периода.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Этап 6.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 2$

Этап 6.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 π$

Этап 7

Вертикальные асимптоты $y = \csc (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ находятся в $\frac{2 π}{3}$ , $\frac{14 π}{3}$ и в каждой точке $x = \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , где $n$ — целое число. Это половина периода.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n$

Этап 8

У косеканса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , где $n$ — целое число

Этап 9